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On the relations among the class numbers of binary quadratic forms of negative determinant. (Sur les relations entre les nombres des classes de formes quadratiques binaires de déterminant négatif.) (French) JFM 47.0141.03

J. de l’Éc. Pol. (2) 19, 1-195 (1915).
\(F (N)\) ist die Anzahl der Klassen von (primitiven und imprimitiven) Formen \(ax^2- 2bxy + cy^2,\) für die \(b^2 - ac = - N < 0,\) und in denen \(a\) und \(b\) nicht beide gerade sind. \(F_1(N)\) ist die entsprechende Zahl, wenn \(a\) und \(b\) beide gerade sind. Gefragt wird nach \(\sum_\sigma F(n-\sigma^2)\) und \(\sum_\delta F_1(n-\sigma^2),\) wobei \(n\) fest, \(\sigma \equiv \sigma_0 (\mod 5)\), \(n-\sigma^2>0.\)
Ausgehend von Ergebnissen von Hermite, Petr und Humbert gelangt der Verf. durch Verwendung von \(\Theta\)- Transformationen zu einem Formelsystem, in dem die genannten Summen als lineare Funktionen elementarer zahlentheoretischer Funktionen (d. h. Funktionen, die sich aus der Primteilerzerlegung rational berechnen lassen) und gewisser \(\mathfrak R_i\) dargestellt werden. Dabei bedeutet \(\mathfrak R_i\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von vier Quadraten, von denen genau \(i\) durch 5 teilbar sind. Es wird gezeigt, wie diese Formeln mit Resultaten von Kronecker und Gierster in Einklang zu bringen sind. – Im Zusammenhang mit diesen Untersuchungen werden Beziehungen zwischen den Anzahlen der Darstellungen von \(n\) durch gewisse quaternäre quadratische Formen ermittelt. In einem Nachtrag wird der Satz bewiesen: “Quadratische Reste (mod 5) werden von ebensovielen Formenklassen der Det. \(- 5\Delta [< 0]\) dargestellt, wie quadratische Nichtreste.”

MSC:

11E45 Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
Full Text: EuDML