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Foundations of the theory of functions of real variables. (Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali.) (Italian) JFM 10.0274.01

Pisa (1878).
Das vorliegende Werk giebt die Darstellung der Principien der Infinitesimalrechnung nach streng arithmetischer Methode, wozu der Herrn Verfasser zunächst theils Mittheilungen des Herrn Schwarz über die Vorlesungen von Weierstrass, theils das Studium der Arbeiten von Hankel, Dedekind, G. Cantor, Heine anregten. Die ersten neun Capitel wurden bereits 1875 gedruckt; der übrige Theil seit Anfang 1877, nachdem dem Verfasser inzwischen mehrere Arbeiten, insbesondere von du Bois-Reymond, Thomae, Darboux, die Einschlägiges enthalten, bekannt geworden waren. Dadurch hat die Anordnung des Stoffes etwas gelitten und sind auch einige Wiederholungen nothwendig geworden. Das Werk zeichnet sich durch consequente Anwendung der strengen Methode aus und bietet ausserdem viel Neues, wovon in der folgenden Inhaltsübersicht einiges hervorgehoben werden möge.
Das erste Capitel behandelt die Theorie der irrationalen Zahlen nach Dedekind, das zweite die Theorie der von G. Cantor eingeführten unendlichen Punktmengen, das dritte den exacten Begriff des Grenzwerthes. (Denselben scheint zuerst B. Bolzano angewandt zu haben; vgl. z. B. dessen: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes u. s. w. Prag 1817 p. 32 ff.). Dann geht der Verfasser über zum Begriffe der Function einer reellen Veränderlichen, erklärt die Stetigkeit und die Unstetigkeiten derselben, wobei eine genaue Definition des Sprunges einer unstetigen Function in einem gegebenen Punkt aufgestellt wird. Nachdem er im fünften Capitel die Eigenschaften der stetigen Functionen entwickelt hat, wendet er sich zu den unendlich oft unstetigen Functionen, welche nach Hankel (vergl. F. d. M. II., p. 190, JFM 02.0190.01) in punktirt- und total-unstetige zerfallen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine in dem Intervalle \((a,b)\) definirte Function zur ersteren Klasse gehöre, ist, dass in jedem Theile dieses Intervalles ein anderes vorhanden sei, in welchem die Sprünge durchaus kleiner seien, als irgend eine gegebene Zahl. Daher gehören zu dieser Klasse alle endlichen Functionen von der Art, dass in jedem Theile des Intervalles \((a,b)\) Punkte \(x\) vorhanden sind, für welche Grenzwerthe \(f(x-0)\) und \(f(x+0)\) existiren.
Das siebente Capitel beschäftigt sich mit den Ableitungen der Functionen, das achte mit den unendlichen Reihen. Der Verfasser führt den Begriff der einfachen Convergenz im gleichen Grade ein und beweist einige bisher nicht bekannte Sätze über Reihen, deren Glieder von einer Veränderlichen abhängen. Z. B.: Sind die Glieder und die Summe der unendlichen Reihe \(\sum U_n\) positiv und stetige Functionen von \(x\) im ganzen Intervalle \((a,b)\), so convergirt die Reihe im genannten Intervalle gleichmässig.
Im neunten Capitel wird Hankel’s Princip dr Condensation der Singularitäten begründet, im zehnten eine Klasse von stetigen Functionen aufgestellt, welche in keinem Punkte eine bestimmte und endliche Ableitung besitzen und wovon Weierstrass’ bekannte Function ein specieller Fall ist (vergl. F. d. M. IX. p. 302, JFM 09.0302.04). Das elfte Capitel enthält Untersuchungen über die stetigen Functionen, insbesondere mit Rücksicht auf die Existenz der Ableitung. Bezeichnet man die beiden Unbestimmtheits-Grenzen des Quotienten \(\{f(x+h)- fx\}:h\) für \(\lim. h=+0\) mit \(\varLambda_x, \lambda x\), die für \(\lim. h=-0\) mit \(\varLambda_x', \lambda'_x\), so lässt sich zeigen, dass diese vier Functionen, während \(x\) das ganze Intervall \((a,b)\) durchläuft, dieselbe obere \((\varLambda)\) und dieselbe untere Grenze \((\lambda)\) besitzen, zwischen welchen sich auch alle Werthe des genannten Quotienten selbst befinden, wenn für \(x\) und \(x+h\) irgend zwei Werthe des Intervalles \((a,b)\) gesetzt werden. Es zerfallen nun die im Intervalle \((a,b)\) stetigen Functionen \(f(x)\) in zwei Klassen, je nachdem mindestens eine der Zahlen \(\varLambda, \lambda\) endlich oder \(\varLambda=+\infty, \lambda=-\infty\) ist. Die Functionen der ersten Art lassen sich durch Hinzufügung eines linearen Ausdruckes \(\mu x+\nu\) auf solche zurückführen, die im Intervalle \((a,b)\) beständig entweder zu- oder abnehmen; während für die Functionen der zweiten Art ein solcher Ausdruck nicht existirt, wesswegen sie “oscillanti irreducibili” heissen. Wenn ausserdem eine Function erster Art im Intervalle \((a,b)\) nicht unendlich viele Maxima und Minima hat (oder wenigstens unter den Functionen \(f(x)+\mu x+\nu\) nur eine endliche Anzahl mit unendlich vielen Maxima und Minima behaftet ist), so existirt in unendlich vielen Punkten eines jeden Theiles des gegebenen Intervalles eine Ableitung und zwar von endlichem Werthe. Bestimmter lautet der folgende Satz: “Damit eine stetige Function \(f(x)\) in einem Punkte \(x_0\) eine Ableitung nach rechts \((d_{x_0})\) besitze, ist nothwendig und hinreichend, dass unter den Functionen \(f(x)+\mu x+\nu\) höchstens eine sei, welche, auf der rechten Seite des Punktes \(x_0\) betrachtet, in diesem Punkte weder zu- noch abnimmt”. Diese Forderung ist immer erfüllt, wenn unter allen Functionen \(f(x)+\mu s+\nu\) keine oder doch nur eine endliche Anzahl solcher sich befinder, welche in jedem Intervalle \((x_0, x_0 +\varepsilon), \varepsilon>0\), unendlich viele Maxima und Minima besitzen. Nimmt man aber noch weiter an, dass in allen Punkten des Intervalles \((x_0, x_0+\varepsilon)\) Ableitungen nach rechts \(d_x\) existiren, so hat \(d_x\) für \(\lim. x=x_0+0\) den Grenzwerth \(d_{x_0}\) und da in einem Punkte, in dessen Umgebung nach rechts, wie klein sie auch sei, die Function unendlich viele Maxima und Minima besitzt, die Ableitung verschwinden muss, wenn der eben erwähnte Grenzwerth von \(d_x\) vorhanden ist, so kann unter den Functionen \(f(x)+\mu x+\nu\) höchstens nur eine sich befinden, welche in jedem Intervalle \((x_0, x_0+\varepsilon)\) unendlich viele Maxima und Minima hat, nämlich diejenige, für welche \(\mu=-d_{x_0}\), so dass die Zahl \(d_{x_0}\) endlich sein muss. Sind endlich in allen Punkten des Intervalles \((x_0, x_)+\varepsilon)\) mit Ausschluss von \(x_0\) Ableitungen nach links \(d'_x\) vorhanden, so hat auch \(d'_x\) für \(\lim. x=+0\) den Grenzwerth \(d_{x_0}\). Fasst man alles zusammen, so folgt der Satz: “Ist \(f(x)\) im ganzen Intervalle \((a,b)\) stetig, und hat von den Funcitonen \(f(x)+\mu x+\nu\) höchstens nur je eine in jeder Umgebung auf einer der beiden Seiten eines beliebigen Punktes \(x\) des Intervalles unendlich viele Maxima und Minima, so hat \(f(x)\) in jedem Punkte \(x\) Ableitungen nach rechts und nach links \(d_x, d'_x\). Dabei ist durchaus \[ d_{x+0} =d'_{x+0}= d_x, \quad d_{x-0}= d_{x-0}'=d_x'.'' \] Die zweite Hälfte des Buches ist der Theorie der bestimmten Integrale gewidmet. Hankel’s Bedingung der Integrabilität einer endlichen Function (l. c.), innerhalb des Intergationsintervalles punktirt-unstetig zu sein, hält der Verfasser mit Recht nur für nothwendig, nicht aber für hinreichend. Ausser denjenigen Functionen, die schon Riemann und Darboux (vergl. F. d. M. VII. p. 245, JFM 07.0243.02) als integrabel erkannten, sind es ferner alle endlichen Functionen von der Art, dass in allen Punkten \(x\) des Integrationsintervalles (mit Ausnahme eines unendlichen Punktsystemes von \(r^{\text{ter}}\) Ordnung) mindestens Grenzwerthe von \(f(x)\) auf einer und derselben Seite von \(x\) (d. i. alle \(f(x-0)\) oder alle \(f(x+0)\) existiren.
Auf die Untersuchung über die Integrabilität von endlichen Functionen folgt eine genaue Darstellung der Haupteigenschaften der Integrale solcher Functionen. Es wird u. A. gezeigt, dass der Werth des Integrales dadurch nicht geändert wird, dass die Werthe der Function in den Punkten eines unendlichen Systemes von \(\nu^{\text{ter}}\) Ordnung abgeändert werden. Der Satz \[ \int_a^b d_x dx=F(a)-F(b) \] besteht, wenn die stetige Function \(F(x)\) im Intervalle \((a,b)\) nach der rechten Seite die Ableitung \(d_x\) besitzt, welche eine integrable Function ist. Hat sie auch eine Ableitung nach der linken Seite \(d_x'\), so ist auch diese Function intergabel, und man hat \[ \int_a^b d_x. dx=\int _a^b d_x'. dx. \] Ebenso sorgfältig durchgeführt ist die Untersuchung solcher Integrale, die zunächst als Grenzwerthe von integralen endlicher Functionen über endliche Intervalle erscheinen; sei es, dass die Function aufhört in dem Intervalle endlich zu sein oder dass dieses selbst unendlich ist. Im letzteren Falle lässt sich das Integral auch als Grenzwerth der Summe einer unendlichen Reihe definiren: \[ \int_a^\infty f(x)dx =\lim_{\delta_s=0}. \sum_1^\infty {}_s \delta_s f(x_s) \]
\[ a+\delta_1+\cdots +\delta_{s-1} \leqq x_s\leqq a+\delta_1+\cdots +\delta_s, \] wenn das zweite Glied der Gleichung einer bestimmten endlichen Werth hat.
Am Schlusse des Werkes sind noch erörtert die partielle Integration, die Substitution der Integrationsveränderlichen, die Integration unendlicher Reihen und die Grenzwerthe von \(\int_a^b f(x,\lambda)dx\) in Bezug auf \(\lambda\). In den beiden ersten Capiteln spielen wieder die Unbestimmtheitsgrenzen \(\varLambda_x, \lambda x\) etc. eine wichtige Rolle; für das letzte ist wesentlich der Begriff der gleichmässigen Convergenz von \(f(x, \lambda)\) gegen den Grenzwerth \(\lim. f(x, \lambda)\) für \(\lim. \lambda= \lambda_0 \pm0\).

MSC:

26-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to real functions
26A03 Foundations: limits and generalizations, elementary topology of the line
26A15 Continuity and related questions (modulus of continuity, semicontinuity, discontinuities, etc.) for real functions in one variable
26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26A27 Nondifferentiability (nondifferentiable functions, points of nondifferentiability), discontinuous derivatives
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
40A05 Convergence and divergence of series and sequences
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