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On an equation analogical to Kummer’s equation. (Sur une équation analogue à l’équation de Kummer.) (French) JFM 16.0270.01

C. R. IC, 777-779 (1885); C. R. IC, 858-859 (1885).
Sind zwei lineare Gleichungen mit rationalen Coefficienten und regulären Integralen gegeben \[ \frac{d^2y}{dx^2}+p\,\frac{dy}{dx}+qy=0,\quad \frac{d^2z}{dt^2}+P\,\frac{dz}{dt}+Qz=0, \] so kann man von der einen zur andern durch die Substitutionen \(y=wz\), \(x=\varphi(t)\) gelangen, worin \(w\) und \(\varphi(t)\) passend gewählte Functionen von \(t\) sind, insbesondere ist \(x=\varphi(t)\) bestimmt durch die Differentialgleichung dritter Ordnung: \[ (1)\quad \frac{x'''}{x'}-\frac 32(\frac{x''}{x'}^2+(2q-\frac 12p^2-\frac{dp}{dx})x'^2=2Q-\frac 12P^2-\frac{dP}{dt}\cdot \] Von dieser Gleichung ist die Kummer’sche Gleichung ein besonderer Fall, den man unter der Annahme erhält, dass sich die gegebenen Gleichungen auf hypergeometrische reduciren. Der Verfasser untersucht nun die Fälle, in welchem die Gleichung (1) eine rationale Function zum Integrale hat, da dann die Integration der einen der beiden gegebenen Gleichungen sich auf die der andern zurückführen lässt. Die Aufgabe wird in folgender Fassung gestellt: Eine Gleichung mit \(q\) wesentlich singulären Punkten ist gegeben, es sollen alle rationalen Functionen \(\varphi(t)\) von der Beschaffenheit gefunden werden, dass die durch die Substitutionen \(x=\varphi(t)\) und \(y=wz\) geänderte Gleichung nur \(q\) wesentlich singuläre Punkte enthält. Es ergiebt sich, dass jeder der Aufgabe genügenden rationalen Function eine Lösung von gewissen Zahlengleichungen in positiven und ganzen Zahlen entspricht. Umgekehrt entsprechen im allgemeinen jedem System von Lösungen eine oder mehrere rationale Functionen. Alle diese Functionen betrachtet der Verfasser als zu einem Typus gehörend. Unter den besonderen Bemerkungen, die daran geknüpft werden, heben wir noch hervor, dass diese Untersuchungen zur Kenntnis der algebraischen Integrale der linearen Gleichungen mit allgemeinen algebraischen Integralen nach einem Satze des Herrn Klein durch eine Substitution obiger Form aus einer der vier Gleichungen, für die Typen der regelmässigen Körper sich ableiten lassen.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
34A25 Analytical theory of ordinary differential equations: series, transformations, transforms, operational calculus, etc.
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Full Text: Gallica