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The integration of two linear differential equations. (Integration zweier linearer Differentialgleichungen.) (German) JFM 07.0194.02

Die behandelten Differentialgleichungen sind: \[ (1) \quad x^2\frac{d^2y}{dx^2} + (c+(a+b+1)x) \frac{dy}{dx} + aby=0, \] auf welche Form die allgemeinere \[ (ax^2+2bx+c)\frac{d^2y}{dx^2} + (dx+e)\frac{dy}{dx} + fy=0 \] stets zurückgeführt werden kann, wenn der Coefficient von \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ein vollständiges Quadrat ist, und \[ (2)\quad \frac{d^2y}{dx^2} - ax^my=0, \] worauf bekanntlich die Riccati’sche Differentialgleichung reducirbar ist.
Die Lösung beider werden in Form einfacher bestimmter Integrale gegeben und beruhen auf derselben Grundformel, welche der Verfasser in den Wien. Ber. LXVII. (vgl. F. d. M. V. p. 186, JFM 05.0186.02) entwickelt hat. Derselbe legt besonders Werth darauf, dass von der Riccati’schen Differentialgleichung auch innerhalb des Intervalles 0 und -4 für \(m\) zwei von einander verschiedene partikuläre Lösungen angegeben werden können, während man nach den bisher bekannten Methoden in diesem Falle nur ein partikuläres Integral erhält und genöthigt ist, das zweite durch die Formel \[ y_2=y_1\int \frac{dx}{y_1^2} \] darzustellen, welche, wenn \(y_1\) wie hier ein bestimmtes Integral ist, kaum als eine brauchbare Lösung betrachtet werden kann.

MSC:

34A30 Linear ordinary differential equations and systems
33C10 Bessel and Airy functions, cylinder functions, \({}_0F_1\)

Citations:

JFM 05.0186.02