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Note on the integration of certain differential equations by series. (English) JFM 02.0171.01

Messenger V. 77-82. 1869 (1869).
Hat man eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, der man durch ein Integral der Form \[ y = Ax^{\lambda} + Bx^{\lambda + 1} + \cdots \] genügen kann, so wird \(\lambda\) durch eine quadratische Gleichung bestimmt. Für jeden Werth von \(\lambda\) sind dann die Coefficienten \(B, C\dots\) bestimmte Vielfache von \(A\), so dass das allgemeine Integral die Form \[ y = A \left(x^{\alpha} + \frac{B}{A} x^{\alpha+1} + \cdots \right) + K \left(x^{\beta} + \frac{L}{K} x^{\beta+ 1} + \cdots \right) \] annimmt.
Der specielle Fall nun, den der Verfasser behandelt, ist der, wo die Differenz der beiden Wurzeln \(\alpha\) und \(\beta\) eine ganze Zahl \(k\) ist, so dass \(\beta = \alpha + k\). In diesem Fall fällt obige Lösung der Form nach mit \[ y = Ax^{\alpha} + Bx^{\alpha + 1} + \cdots \] zusammen, welche daher zwei willkürliche Constante enthalten mus, so dass jetzt die Coefficienten nicht länger bestimmte Vielfache von \(A\) sein können. Als einfachster Fall wird derjenige behandelt, wo die Bedingungsgleichungen für die Coefficienten immer nur zwei auf einander folgende Coefficienten verbinden. Dann erscheint das allgemeine Integral in der Form \[ y = A \left( x^{\alpha} + \frac{B}{A} x^{\alpha + 1} + \cdots + \frac{E}{A} x^{\alpha +e} \right) + K \left( x^{\alpha + k} + \frac{L}{K} x^{\alpha + k + 1} +\cdots \right), \] so dass jetzt eine singuläre Lösung in endlicher Form existirt.

MSC:

34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations
34A25 Analytical theory of ordinary differential equations: series, transformations, transforms, operational calculus, etc.