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Neutral networks of RNA secondary structures. (English) Zbl 0864.92010

Jena: Univ. Jena, Math. Fak., 101 p. (1995).
In der von Erdös und Réyni begründeten Zufallsgraphentheorie werden neue Modelle für Zufallssubgraphen von Konfigurationsräumen vorgestellt. Diese Subgraphen formen Wahrscheinlichkeitsräume, in denen die Eigenschaften Dichte und Zusammenhang der entsprechenden Graphen 0-1-Gesetze erfüllen. Genauer heißt dies, daß in einem gewissen Limes ein Schwellenwert existiert, unterhalb dessen Zusammenhang und Dichte für keinen Zufallsgraphen gegeben sind, aber oberhalb dessen alle Zufallsgraphen dicht und zusamnmenhängend sind. Es kann nachgewiesen werden, daß für jeden positiven Konstruktionsparameter in einem Zufallsgraphen eine einzige riesige Komponente existiert.
Diese Resultate nutzen wir für das Studium der Sequenz-Struktur-Abbildungen, wobei wir unter “Struktur” RNA-Sekundärstrukturen verstehen. Einzelne Urbilder dieser Abbildung, die neutralen Netze, werden als Zufallssubgraphen des Graphen der kompatiblen Sequenzen konstruiert. Dichte und Zusammenhang der neutralen Netze, im Graphen der kompatiblen Sequenzen, werden mit Hilfe der zuvor erzielten Resultate analysiert. Wir werden nachweisen, daß in jedem Fall die neutralen Netze im Limes unendlicher Kettenlänge eine einzige große Komponente besitzen. Ferner besitzen je zwei neutrale Netze im Sequenzraum einen geringen Hamming-Abstand und wir können (im Rahmen des Modells) einen Beweis der shape space covering conjecture erbringen.
Im Anschluß untersuchen wir die Dynamik des Replikationsprozesses einer endlichen Population von RNA-Molekülen (auf limitierten Ressourcen) in einer von einem neutralen Netzwerk induzierten Landschaft. Es stellt sich heraus, daß das grundlegende Fehlerschwellenkonzept von Eigen et al. auf diese Typen von Landschaften erweitert werden kann. Alle Resultate werden konsequent für endliche Populationen formuliert. Weiter wird ein Kriterium für die Lokalisierung der Fehlerschwelle erarbeitet und es erweist sich eine gute Übereinstimmung mit den parallel durchgeführten Gillespie-Simulationen. Die Population auf dem neutralen Netzwerk bewegt sich gemäß einer Diffusionsgleichung und wir können die Verteilung der Paarabstände in Abhängigkeit von der Replikationsgenauigkeit einzelner Positionen bestimmen.
Schließlich beschäftigen wir uns mit der algebraischen Darstellung von RNA Sekundärstrukturen. Wir fassen die Biopolymerstrukturen als Kontakt-Strukturen auf und betten diese in Involutionen bzw. Untergruppen der \(S_n\) ein. Aus diesen Darstellungen ergeben sich dann verschiedene Metriken, mit deren Hilfe sich das Konzept der Quasispezies von Sekundärstrukturen formulieren läßt.

MSC:

92C40 Biochemistry, molecular biology
05C90 Applications of graph theory
92B20 Neural networks for/in biological studies, artificial life and related topics
05C80 Random graphs (graph-theoretic aspects)
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