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Topologie II: Uniforme Räume. Mit zwei Zeichnungen von Volker Kühn. (English) Zbl 0644.54001

Berliner Studienreihe zur Mathematik, Bd. 3. Berlin: Heldermann Verlag. XI, 265 S.; DM 48.00 (1988).
Dieser Band schließt die dreibändige Darstellung der allgemeinen Topologie ab. Was Form und Darbietung anbelangt, gilt das über Band 1 und Band 2 Gesagte [siehe die ausführliche Besprechung Zbl 0628.54002].
Zugrunde liegt der Begriff des Überdeckungsraumes. Die äquivalenten Konzepte “benachbarte Mengensysteme” und “kleinelementige Mengensysteme”, sowie Topologisierbarkeit und Metrisierbarkeit werden in § 1 behandelt, (proximal, gleichmäßig) stetige Abbildungen (Senken, Quellen, Fundamentalkonstruktionen) in § 2 und § 3. § 4 befaßt sich mit den Trennungseigenschaften; hier werden u.a. uniforme Überdeckungsräume mittels Diagonalumgebungen charakterisiert. § 5 (Zusammenhang) und § 6 (Kompaktheit) bringen u.a. eine erste Einführung in die Dimensionstheorie, die Begriffe “Büschel” und “proximaler Raum” sowie Vollständigkeit. Stets wird die Stabilität unter den Fundamentalkonstruktionen geklärt. In § 7 werden Vervollständigungen konstruiert; als Spezialfälle ergeben sich die Kompaktifizierungen von Wallman, Čech-Stone, Banaschewski, Alexandroff und Hewitt. Schließlich werden in § 8 Funktionenräume untersucht mittels einfacher, stetiger und gleichmäßiger Konvergenz und u.a. die Sätze von Arzela-Ascoli, Stone-Weierstraß und Dini bewiesen. Historische Anmerkungen schließen diesen Band ab, in dem die Theorie der Überdeckungsräume erstmalig lehrbuchmäßig dargestellt wird.
Reviewer: B.Behrens

MSC:

54-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to general topology
54E15 Uniform structures and generalizations
54E17 Nearness spaces
54E35 Metric spaces, metrizability
54E52 Baire category, Baire spaces
54D35 Extensions of spaces (compactifications, supercompactifications, completions, etc.)
54B30 Categorical methods in general topology
54C35 Function spaces in general topology
54F45 Dimension theory in general topology

Citations:

Zbl 0628.54002
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