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On partial differential equations to be found in the calculus of variations. (Über partielle Differentialgleichungen, die in der Variationsrechnung vorkommen.) (German) JFM 34.0401.02

Kiel. 54 S. 8\(^\circ\). Göttingen: W. Fr. Kästner (1903).
A. Hirsch hat (F. d. M. \( 28\), 322, 1897, JFM 28.0322.01) den Satz bewiesen: Wenn die Funktion \(F(x, y, y',\dots,y^{(2n)})\), von der geraden Ordnung \(2n\), die Eigenschaft hat, daß der aus ihr abgeleitete lineare homogene Differentialausdruck \[ \delta F=\sum_{k=0}^{k=2n} \frac{\partial F}{\partial y^{(k)}}\;u^{(k)} \] sich selbst adjungiert, d. h. \[ =\sum_{k=0}^{k=2n}(-1)^k\;\frac{d^k}{dx^k} \left[ \frac{\partial F}{\partial y^{(k)}}\;u \right] \] (wo \(u\) eine willkürliche Funktion von \(x\)) ist, so läßt sich durch Quadraturen ein Integral \[ \int f(x,y,y',\dots,y^{(n)}) dx \] ermitteln, dessen Extremalen durch die Gleichung \(F=0\) gegeben sind.
Auch für partielle Differentialausdrücke zweiter Ordnung mit zwei oder drei unabhängigen Veränderlichen \[ F(x_1,x_2,\dots,x_n;y;y_1,\dots, y_n;y_{11}, \dots , y_{nn}) \qquad(n=2,3), \] wo \(y_\nu=\frac{\partial y}{\partial x_\nu}\), \(y_{\mu \nu}=\frac{\partial^2y}{\partial x_\mu \partial x_\nu}\) gesetzt ist, beweist A. Hirsch einen ähnlichen Satz und spricht die Vermutung aus, daß dies auch für eine ganz beliebige Anzahl von unabhängigen Veränderlichen der Fall ist. Die Richtigkeit dieser Vermutung beweist der Verf. für \(n = 4, 5, 6\), teilt aber die Rechnungen nur für \(n = 4\) und 5 mit, da für \(n=6\) die Rechnung sehr umfangreich, jedoch prinzipiell nicht von der für \(n = 5\) verschieden ist. Da diese Beweise auf Hülfssätzen beruhen, welche für beliebige \(n\) gelten, so ist es höchst wahrscheinlich, daß auch der in Rede stehende Satz allgemein richtig ist.
Dies ist in der Tat der Fall, wie Kürschák in einer soeben in den Mathematischen Annalen \( 60\) (1905) erschienenen Arbeit auf anderem Wege beweist.

MSC:

49K20 Optimality conditions for problems involving partial differential equations

Keywords:

inverse problem

Citations:

JFM 28.0322.01