×

Investigation of the convergence of extended Krylov-Shtaerman interpolation process. (Russian) Zbl 0645.41001

Let \(\Delta:=\{x_{\nu}\}\) \(n_{\nu =1}\), \((n=1,2,3,...)\) where \(x_{\nu}=\cos ((2v-1)/2n)\pi\) be a set of nodes with \(x_ 0=1\). Let \(f\in C\) 1[-1,1] and let \(F_{\Delta}(x;f)\) denote the cubic spline which belongs to C’ and which interpolates f at the knots \(\Delta\). The author considers the Hermite-Fejer interpolant \(H_{2n-1}(x;f)\) which satisfies \(H_{2n-1}(x_{\nu};f)=f(x_{\nu}),\) \(H'_{2n- 1}(x_{\nu};f)=F'_{\Delta}(x_{\nu};f),\) \((\nu =0,1,1,...,n)\). He shows that \(H_{2n-1}(x;f)\) converges to f and that \(H'_{2n-1}(x;f)\) converges to f’ uniformly in [-1,1]. He also gives a precise estimate for the error in terms of the modulus of continuity of f’.
Reviewer: A.Sharma

MSC:

41A05 Interpolation in approximation theory
41A25 Rate of convergence, degree of approximation
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] I. Fejér, Über Interpolation,Gött. Nachr., (1916), 66–91. · JFM 46.0419.01
[2] Н. М. Крылов, И. Я. Штаерман, Sur quelques formules d’interpolation convergentes pour toute fonction continue,Зписки пиз-мамем. омб. АН УССР,1 (1922), 12–13.
[3] Д. Л. Берман, К теории интерполяции,ДАН СССР,163 (1965), 551–554.
[4] Д. Л. Бермаи, Исслелование интерполяционноро промесса эрмита–Фейера,ДАН ССССР,187 (1969), 241–244. · Zbl 1200.11037
[5] Д. Л. Берман, Об одном всюду расхолящемся интериоляционном процессе Эрмита–Фейера,Избесмия бузоб, Мамем.,1 (1970), 3–8. · Zbl 1200.11037
[6] Д. Л. Берман, Всюду расходящйся расширенный интерполяционный пронесс Эрмита–Фейера,Избесмия бузов, Мамем.,9 (1975), 84–87. · Zbl 1200.11037
[7] A. Cook, T. M. Mills, On Berman’s phenomenon in interpolation theory,Bull. Austral. Math. Soc.,12 (1975), 457–465. · Zbl 0294.41001 · doi:10.1017/S0004972700024114
[8] Л. Берман, Расширенный интерполонный лроцесс Эрмита–Фейера,Извесмия вузов, Мамем.,1 (1975), 93–96. · Zbl 1200.11037
[9] H. N. Laden, An application of the classical orthogonal polynomials to theory of interpolation,Duke Math. J.,8 (1941), 591–610. · Zbl 0061.13101 · doi:10.1215/S0012-7094-41-00851-7
[10] Д. Л. Берман, Всюду раходящийся расширенный интерполяционный процесс Крылова–Штаермана,Избесмия бузоб, Мамем.,4 (1981), 5–11. · Zbl 1200.11037
[11] Д. Л. Берман, Интерполяционный процесс Егервари–Турана, построенный при расширенной системе узлов Чебышева,Избесмия бузоб, Мамем.,7, (1975), 99–102. · Zbl 1200.11037
[12] Д. Л. Берман, К теории интерполяции Функции действитэлвного переменного,Избесмия бузоб, Мамем.,1 (1967), 15–19. · Zbl 1200.11037
[13] Д. Л. Берман, Решение одной задачи теории операторов и аналоги тождества М. Риссса,Успехи мамем. наук,37 (1982), 187–188. · Zbl 1200.11037
[14] Д. Л. Берман, К расширенному интерполяционному процессу Крылова–Штаермана,Acta Math. Hung. · Zbl 1200.11037
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.