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On an entire function which is equal to a product of two hypergeometric functions. (Ueber eine ganze Function, die dem Producte zweier hypergeometrischen Reihen gleich ist.) (Russian) JFM 24.0408.02

Charkow Ges. (2) 3, 252-254 (1892).
In der Abhandlung “Ueber die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe” [Chark. Ges. 2, 51–62, 95–113 (1887; JFM 19.0330.02)] hat der Verfasser alle Fälle bestimmt, in welchen das Product irgend welcher zwei Lösungen der Differentialgleichung \[ x(1-x)\;\frac{d^2y}{dx^2}+\left(\gamma+(\alpha+\beta+1)x\right)\frac{dy}{dx}-\alpha\beta\gamma=0 \] einer ganzen Function von \(x\) gleich ist. Jetzt zeigt er, veranlasst durch das merkwürdige Theorem Klein’s über die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe, dass, wenn \(-\alpha-\beta\) gleich einer ganzen positiven Zahl \(n\) ist, \(-\gamma+\frac12=k\) (eine ganze positive Zahl, die kleiner oder gleich \(n\) ist) und \(\alpha-\beta =\varDelta\) (nicht ganze Zahl), die gesuchte ganze Function erstens durch das Product \[ Lx^n F\left(\alpha,\alpha-\gamma+1,\alpha-\beta+1,\tfrac1x\right)\cdot F\left(\beta,\beta-\gamma_1,\beta-\alpha+1,\tfrac1x\right), \] zweitens durch ein Polynom gegeben wird, in welchem die Coefficienten der Potenzen von \(x\) die hypergeometrischen Reihen höherer Ordnung \(F(\lambda,\mu,\nu,\varrho,\sigma, x)\) sind.

MSC:

33C05 Classical hypergeometric functions, \({}_2F_1\)
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates

Citations:

JFM 19.0330.02