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The principal ideal theorem in prime Noetherian rings. (English) Zbl 0579.16001
La partie multiplicative des éléments réguliers modulo un idéal premier P d’un anneau R est notée C(P). Il est connu qu’un anneau commutatif intègre noethérien R vérifie les propriétés suivantes: (a) \(C=\cap C(P)\) (où P parcourt l’ensemble des idéaux premiers de hauteur 1) est formée d’éléments inversibles; (b) pour un idéal premier P non nul on a \(C(P)=\cap C(Q)\) (où Q parcourt l’ensemble des idéaux premiers de hauteur 1 inclus dans P), et (c) avec les notations de (b), \(\cap C(Q)\subseteq C(P).\)
Ici le cas où R est non commutatif est considéré. Il est démontré que tout ordre maximal borné premier noethérien R vérifie les propriétés (a) et (c); il en résulte alors que tout idéal premier de hauteur supérieure ou égale à 2 contient une infinité d’idéaux premiers de hauteur 1. Pour un anneau premier noethérien totalement borné pour lequel tout idéal bilatère non nul contient un élément central non nul, il est démontré que (a) est vraie et que (b) est vraie si P est localisable; une version de (c) faisant intervenir le centre de R est alors donnée pour un tel anneau.
Reviewer: A.Hudry
MSC:
16N60 Prime and semiprime associative rings
16P40 Noetherian rings and modules (associative rings and algebras)
16Dxx Modules, bimodules and ideals in associative algebras
16H05 Separable algebras (e.g., quaternion algebras, Azumaya algebras, etc.)
16P50 Localization and associative Noetherian rings
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Full Text: DOI
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