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The theory of general periodicity. (Theorie der allgemeinen Periodicität.) (German) JFM 13.0317.03

Eine Function \(F(x)\), die der Gleichung \[ (1) \quad(\varphi_1(x))= F(x) \] genügt, wobei \(\varphi (x)\) eine beliebige algebraische Function bedeutet, heisst eine periodische Function (im weiteren Sinne). Die Gleichung \(y= \varphi_1 (x)\) oder die entsprechende implicite Gleichung \(f(x,y)= 0\) heisst die zu \(F(x)\) gehörige Periodicitätsgleichung. Es gilt folgender Satz, der ein bekanntes von Herrn Weierstrass herrührendes Theorem erweitert: “Jede Function, die ein algebraisches Functionaltheorem besitzt, derart, dass \[ F[\psi (x,y)]= \varphi [F(x),F(y)] \] ist, wobei \(\varphi\) und \(\psi\), algebraische Functionen bezeichnen, ist entweder algebraisch oder periodisch oder die Umkehrung einer periodischen Function.” Ist \(F(x)\) eine periodische Function der oben genannten Art und \(F_1(x)= F(\psi_1 (x))\), wo \(\psi_1(x)\) eine algebraische Function, dann ist \(F_1(x)\) ebenfalls periodisch und Periodicitätsgleichung ist \[ y= \psi_{-1}\varphi_1\psi_1 (x), \] wo \(\psi_{-1}\) die Umkehrung von \(\psi_1\) bedeutet, oder implicite \[ f(\psi_1 (x),\psi_1 (y))= 0 \] Durch diese Functionalsubstitution kann man verschiedene Arten von Perioden auf gewisse, Normalfälle zurückführen. So wird gezeigt, dass alle Periodicitätsgleichungen \(y= \varphi_1(x)\) von den Art, dass \[ \varphi_n(x)= \varphi_1\varphi_1\varphi_1 \ldots (x)= x \] sich in der Form \[ y= \psi_{-1}\alpha \psi (x) \] darstellen lassen, wo \(\alpha\) eine \(n^{\text{te}}\) Einheitswurzel ist. Diese führen, da sie wiederkehrende Perioden liefern, zu algebraischen Functionen. Unter den Periodicitätsglcichungen, die zu transcendenten Functionen führen, werden zunächst die linearen Gleichungen \(y= \frac{bx+d}{ax+c}\) betrachtet, welche sich, wie bekannt, auf zwei Normalformen \(y= px\) (die multiplicatorische) und \(y= x+n\) (die additive Periode) zurückführen lassen, die, wie bewiesen wird, nicht durch eine algebraische Substitution in einander übergeführt werden können. Jede andere Art von Periodicität wird als irrational bezeichnet. Es zeigt sich hier, dass eindeutige oder endlich vieldeutige Functionen im Allgemeinen eine solche irrationale Periodicität nicht zulassen. Zwei Ausnahmefälle werden in Betracht gezogen, erstens der Fall, dass die Periodicitätsfunction \(y= \varphi_1(x)\) der Art ist, dass keine Iterirung derselben \(\varphi_{\kappa}(x)\) mehr als eine bestimmte endliche Anzahl von Werten besitzt, zweitens der Fall, dass die Zahl der Werte von \(\varphi_{\kappa}(x)\) zwar in’s Beliebige wächst, aber nur eine bestimmte endliche Zahl derselben von den Werten früherer Iterirungen verschieden ist. Der erste Fall wird allein vom Verfasser vollständig erledigt. Es genügt hierzu, solche Periodicitätsfunctionen \(\varphi_1(x)\) zu untersuchen, deren Iterirungen von derselben Vieldeutigkeit wie \(\varphi_1(x)\) sind. Hierbei kommt ein bemerkenswerter Satz betreffs des Zusammenhangs zwischen zwei Werten \(y_r,y_s\) einer algebraischen Function \(y\) zur Anwendung. Genügt diese nämlich einer irreductiblen Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades, so lassen sich sämmtliche \(n\) Werte, von \(y\) in Reihen von je \(k\) Gliedern (\(k\) ein Teiler von \(n\)) derart ordnen, dass \[ \begin{aligned} y_2 & = \varphi_1(y_1),\quad y_2= \varphi_2(y_1) \ldots y_k= \varphi_{k-1}(y),\quad y_1= \varphi_k(y_1), \\ y_{k+2} & = \varphi_1(y_{k+1}), \ldots y_{2k}= \varphi_{k-1}(y_{k+1}),\quad y_{k+1}= \varphi_k(y_{k+1}) \ldots . \end{aligned} \] \(y_2= \varphi_1(y_1)\) heisst die algebraische Zusammenhangsgleichung, \(\varphi_r\) bedeutet wieder die Iterirung von \(\varphi_1\). Mit Hülfe dieses Satzes wird nun gezeigt, dass alle Periodicitätsgleichungen \(n^{\text{ten}}\) Grades, die iterirt vom \(n^{\text{ten}}\) Grade bleiben, sich in der Form \[ \psi (y)= \varepsilon \varphi (x) \] darstellen lassen, wo \(\psi\) eine rationale Function \(n^{\text{ten}}\) Grades und \(\varepsilon\) eine lineare Function bezeichnet. Den Schluss bildet die Betrachtung mehrfach periodischer Functionen unter der Beschränkung auf rationale Periodicitätsgleichungen. Sind die Perioden vertauschbar, so giebt es nur drei Arten von zugehörigen eindeutigen oder endlich vieldeutigen Functionen, diejenigen mit einfacher additiver, mit einfacher multiplicatorischer und mit doppelter additiver Periode. Die letzteren lassen sich mittels einer transcendenten Substitution in solche mit einfacher multiplicatorischer Periode verwandeln (Reduction elliptischer Functionen auf Modularfunctionen). Der Fall der Nicht-Vertauschbarkeit mehrfacher Perioden wird nicht näher untersucht; es müssen dann, wie bemerkt wird, die zugehörigen Functionen im Allgemeinen unendlich viele wesentlich singuläre Punkte besitzen.

MSC:

30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable
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