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On the application of quaternions and Grassmann’s Ausdehnungslehre to different kinds of uniform space. (English) JFM 14.0439.03

Cambr. Trans. XIII. 69-143; Cambr. Proc. IV. 194-196 (1882).
Die vorliegende Arbeit will, im Anschluss an Grassmann, einen rein algebraischen Calcül aufstellen, dessen Gesetze mit den im wirklichen Raume geltenden übereinstimmen. Ein derartiger Calcül unterscheidet sich von der gewöhnlichen Algebra dadurch, dass mehr als eine unabhängige Einheit vorhanden ist. Es seien \( A \) und \( B \) unabhängige Einheiten derart, dass zwischen ihnen keine Relation von der Form \( A = xB \) stattfinden kann, wo \( x \) eine gewöhnliche (reelle oder imaginäre) algebraische Grösse ist. Dann werden \( A \) und \( B \) Punkte genannt, und jeder Ausdruck von der Form \( pA + qB \) , wo \( p, q \) positive, negative oder imaginäre Zahlen sind, wird ebenfalls ein Punkt oder ein Vielfaches eines Punktes genannt. Die Grössen \( pA + qB, 2 \; (pA + qB), 3 \; (pA + qB) \) etc. werden nicht als verschiedene Punkte, sondern als verschiedene Vielfache desselben Punktes betrachtet. Der Punkt \( pA + qB \) variirt mit dem Verhältnis \( p:q \) , und alle Punkte, die in jenem Ausdrucke enthalten sind, bilden eine einfach unendliche Reihe, die gerade Linie. Sind \( A, B, C \) verschiedene Grössen, die durch keine lineare Relation verbunden sind, so bilden alle Punkte, die in dem Ausdruck \( pA + qB + rC \) enthalten sind, eine doppelt unendliche Reihe, die eine Ebene ganannt wird. Diese Definition lässt sich in derselben Art auf mehr Dimensionen ausdehnen. Es lässt sich nun zeigen, dass aus diesen Definitionen alle descripctiven oder projectiven Eigenschaften von Curven, dieselben als Orte von Punkten angesehen, die gewissen Gleichungen genügen, direct folgen.
Den Begriff der Entfernung kann man auf drei verschiedene Arten einführen. Es seien, \( P, Q, R \) \( \text{einfache} \) , nicht vielfache Punkte, so dass \( pP + qQ = rR \) , und es sei \( \alpha = \) Entfernung \( PR, \beta = \) Entfernung \( RQ, \gamma = \) Entfernung \( PQ \) , so dass \( \alpha + \beta = \gamma \) . Dann muss eins der folgenden Systeme von Relationen bestehen: \[ (\text I) \quad r^2 = p^2 + q^2 + 2pq \; \text {cosh} \; \frac {\gamma}{k} , \quad p \; \text {sinh} \; \frac {\alpha}{k} = q \; \text {sinh} \; \frac {\beta}{k} ; \]
\[ (\text{II}) \quad r = p + q, \quad p \alpha = q \beta ; \]
\[ (\text{III}) \quad r^2 = p^2 + q^2 + 2pq \; \cos{} \; \frac {\gamma}{k}, \quad p \; \sin{} \; \frac {\alpha}{k} = q \; \sin{} \; \frac {\beta}{k} . \] [cosh und sinh bezeichnen darin den hyperbolischen, cos und sin den gewöhnlichen Cosinus und Sinus].
Den Relationen (I), (II), (III) entsprechen drei verschiedene Arten von Geometrie, nämlich (I) die nicht-euklidische Geometrie von Lobatchewsky und Bolyai, (II) die gewöhnliche Geometrie, (III) die sphärische Geometrie.
Die verschiedenen Arten der Multiplication von Punkten findet man, wenn man das distributive Princip zu Hülfe nimmt. Es ergiebt sich, dass die allgemeinsten Bedingungen folgende sind: \[ P^2 = Q^2 = \beta \] ist constant, und ausserdem ist \[ P.Q + Q.P = 2 \beta \; \text{cosh} \theta \; \text{in} \; (\text I) , \]
\[ P.Q + Q.P = 2 \beta \quad \text{in} \; (\text{II}) , \]
\[ P.Q + Q.P = 2 \beta \; \cos{} \theta \; \text{in} \; (\text{III}) . \] Durch Einführung weiterer specieller Annahmen kann man verschiedene Arten der Multiplication erhalten. Diese sind 1) Grassmann’s äussere Multiplication, die (für zwei Punkte) identisch ist mit der äusseren Multiplication der Quaternionen. 2) Grassmann’s innere Multiplication, die (für zwei Punkte) identisch ist mit der skalaren Multiplication der Quaternionen. 3) Die associative Quaternionen-Multiplication, die folgende Gesetze befolgt: \[ Q.P^{-1} = \text{cosh} \theta + i \; \text{sinh} \theta, \quad i^2 = 1 \; \text{in} \; (\text I) , \]
\[ Q.P^{-1} = 1 + i \theta, \quad i^2 = 0 \; \text{in} \; (\text{II}) , \]
\[ Q.P^{-1} = \cos{} \theta + i \; \sin{} \theta, \quad i^2 = -1 \; \text{in} \; (\text{III}) , \] wo \( i \) in jedem Falle eine specifische Constante ist, die der Verbindungslinie der Punkte \( P \) und \( Q \) eigenthümlich ist.
Weiter wird die Addition und Multiplication dreier Grössen \( i \) betrachtet. Es wird gezeigt, dass, wenn \( i_1 \) und \( i_2 \) zwei specifische Constante sind, die zwei unter dem Winkel \( \theta \) gegen einander geneigten Linien angehören, und wenn \[ ri = pi_1 + qi_2 , \] dass dann \[ r^2 = p^2 + q^2 + 2pq \; \cos{} \theta , \] ferner \[ i_2 i_1^{-1} = \cos{} \theta + Q. \sin{} \theta \] ist, wo \[ Q^2 = -1 : \] \( Q \) kann als der Punkt angesehen werden, in dem sich die Linien schneiden.
Aus diesen Formeln ergeben sich, mit Hinzunahme des associativen Princips, für den Fall I die folgenden Relationen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks: \[ \text{cosh} \; a = \text{cosh} \; b. \text{cosh} \; c - \text{sinh} \; b. \text{sinh} \; c. \cos{} \; A , \]
\[ \frac {\text{sinh} a}{\sin{} A} = \frac {\text{sinh} b}{\sin{} B} = \frac {\text{sinh} c}{\sin{} C} , \] und andere ähnliche. Auf dem angedeuteten Wege kann man alle Eigenschaften der verschiedenen Arten des Raumes durch rein algebraische Methoden erhalten. Die hauptsächlichsten Unterschiede zwischen den drei möglichen Fällen werden dabei stets scharf hervorgehoben.
Geht man zur Geometrie von drei Dimension über, so sind sieben verschiedene imaginäre Grössen nöthig. Dieselben sind im Falle (I) identisch mit den Symbolen, die in Hamilton’s Biquaternionen auftreten. Sind \( I, J, K \) die gewöhnlichen Quaternionensymbole, so stellt der Ausdruck \[ XI + YJ + ZK + \sqrt {-1} \; (LI + MJ + NK) \] eine Linie oder eine Kraft im Raume dar, falls \[ XL + YM + ZN = 0 . \] Ist die letztere Gleichung nicht erfüllt, so stellt der obige Ausdruck ein System von Kräften vor.
Weiter werden einige Anwendungen auf die Theorie der Schraubenbewegungen gemacht. Die Gleichung des Cylindroids wird: \[ (p_{\alpha} - p_{\beta}) \; (\omega^2 - z^2) \; xy = (1 + p_{\alpha} p_{\beta}) \; (x^2 + y^2) \; \omega z . \] Dasselbe ist also eine Fläche vierter Ordnung, wie dies von Lindemann gezeigt ist. Für Punkte nahe dem Anfangspunkte wird die Gleichung \[ (p_{\alpha} - p_{\beta}) \; xy = z \; (x^2 + y^2) ; \] dieselbe fällt mit der Gleichung des Cylindroids im gewöhnlichen Raume, wie sie zuerst von Ball aufgestellt ist, zusammen. Ferner wird gezeigt, dass die Eigenschaften der beliebig im Raume vertheilten Kräfte abgeleitet werden können aus den Eigenschaften von Kräften, die in demselben Punkte angreifen, falls man nur für die Componenten \( X, Y, Z \) die imaginären Grössen \( X + L \omega , Y + M \omega , Z + N \omega \) setzt, wo \( \omega^2 = -1 \) in (I), \( \omega^2 = 0 \) in (II), \( \omega^2 = 1 \) in (III) ist.
Zum Schluss wird gezeigt, wie man das System imaginärer Grössen für Räume von höheren Dimension erhalten kann aus den commutativen Producten niederer Systeme.

MSC:

14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
14H50 Plane and space curves
33B10 Exponential and trigonometric functions
33C05 Classical hypergeometric functions, \({}_2F_1\)
51M10 Hyperbolic and elliptic geometries (general) and generalizations