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A note on the theory of the first variation in the calculus of variations. JFM 41.0434.01

Unter der Annahme, daß \(f_y'(x, y, y')\) und \(f_{y^\prime}^{\prime} (x, y, y')\) stetig seien und \(f_x'(x,y,y')\) zwischen endlichen Schranken liege, wird bewiesen: Hat die Funktion \(y (x)\) eine Ableitung \(y'(x)\), die zwischen endlichen Schranken verbleibt und, abgesehen von einer abzählbaren Punktmenge, überall stetig ist, und verschwindet für \(y= y (x)\) die erste Variation von \(\int f (x, y, y' ) dx\), so genügt \(y (x)\) überall der Gleichung: \[ f_{y^\prime}^{\prime}=\int^x_{x_1}f_y'dx+\text{const.}, \] aus der weiter folgt, daß überall, ausgenommen die abzählbare Menge der Unstetigkeitsstellen von \(y' (x)\), die Eulersche Gleichung besteht: \[ \frac{d}{dx}f_{y^\prime}^\prime = f_y'. \]
Ist \(x\) Unstetigkeitsstelle von \(y'(x)\), so existiert für das Wertetripel \(x, y = y(x),\;y'=y'(x)\) die Ableitung \(f^{\prime\prime}_{y'y'}\) und hat den Wert 0. Werden also Funktionen \(y (x)\) ausgeschlossen, die \(f^{\prime\prime}_{y'y'}\) zum Verschwinden bringen, so sind alle übrigen Lösungen stetig differenzierbar und genügen der Eulerschen Gleichung. Unter einigen weiteren Voraussetzungen erhält man auch die bekannten Integrale der Eulerschen Gleichung, falls \(f\) von \(x\) oder \(y\) unabhängig ist, und kann in bekannter Weise den Fall erledigen, daß \(f\) in \(y'\) linear ist.

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49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
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References:

[1] W. H. Young,A Theorem in the Theory of Functions of a Real Variable [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXIV (2{\(\deg\)} sem. 1907), pp. 187–192. · JFM 38.0420.01 · doi:10.1007/BF03015058
[2] The results of this paper may be compared with the important theorem recently proved by Hahn that every rectifiable curve which possesses a definite tangent at every point, necessarily satisfies equation (B) if it furnishes a minimum for the integral under consideration. The work depends on the systematic use of generalised integrationHahn,Über die Herleitung der Differentialgleichungen der Variationsrechnung [Mathematische Annalen, Bd. LXIII (1907), pp. 253-272], p. 254.
[3] O. Bolza,Vorlesungen über Variationsrechnung (Leipzig und Berlin, Teubner, 1909). · JFM 40.0428.01
[4] The limits at any point of a function which in every interval assumes all values between its upper and lower bounds necessarily include every value between the upper and lower limits at the point.
[5] I take this opportunity of referring the readers of the Rendiconti who may have read the remarks of Schoenflies on a former paper of mine in the present Rendiconti, Tomo XXI (1906), pp. 125-127 to my reply in the Messenger of Mathematics, New Series, n{\(\deg\)} 461, September 1909. Readers who, like Schoenflies, may have found the argument difficult to follow, will find it there expanded, though in no other way altered.
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