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On the maximum liklihood error distribution. (Ueber wahrscheinlichste Fehlerverteilungen.) (German) JFM 23.0239.01

Bei Bestimmung der theoretisch zu erwartenden Fehlerverteilung unter Voraussetzung eines bestimmten Fehlergesetzes wird immer das folgende unzulängliche, allerdings aber einfache Verfahren in Anwendung gebracht: Man multiplicirt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler innerhalb gewisser Grenzen fällt, mit der Gesamtzahl aller Fehler und nimmt das Product als die wahrscheinlichste Anzahl der zwischen jene Grenzen fallenden Fehler. Da jedoch dieses Product im allgemeinen keine ganze Zahl ist, so nimmt man dafür die nächste ganze Zahl. Hierdurch kann es kommen, dass die Summe der für alle Intervalle berechneten Zahlen von der Gesamtzahl der wirklich vorhandenen Fehler nicht unbedeutend abweicht, abgesehen davon, dass man nicht weiss, ob in der That die wahrscheinlichste Fehlerverteilung erhalten wird.
Der Verf. sucht diese Uebelstände zu umgehen, indem er die wahrscheinlichste Verteilung von \(n\) gleichartigen Elementen in \(k\) Abteilungen oder Klassen \(A_1, A_2, \dots, A_k\) bestimmt, wenn die Wahrscheinlichkeit \(w_i\), dass ein vereinzelt gedachtes Element in die Klasse \(A_i\) fällt, bekannt ist. Zu dem Ende muss der Ausdruck \[ \frac {n!} {n_1! n_2! \dots n_k!}\;w_1^{n_1} w_2^{n_2} \cdots w_k^{n_k} \] ein Maximum werden, wenn gleichzeitig \[ w_1 + w_2 + \cdots + w_k = 1 \] und \[ n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n \] ist, wobei \(n_1, n_2, \dots, n_k\) ganze Zahlen sein müssen. Die vom Verf. gegebene, ziemlich umfangreiche Rechnungen erfordernde Lösung dieser Aufgabe kann unter Umständen auf mehrere Verteilungen von gleicher maximaler Wahrscheinlichkeit führen.
Diese Entwickelung ist offenbar auf die Fehlertheorie ohne weiteres anwendbar, wenn man statt der Elemente Fehler und statt der Klassen die Intervalle nimmt, innerhalb welcher die Anzahlen der Fehler gesucht werden. Schliesslich wird noch die Wahrscheinlichkeit \(W_{(m)}\), dass in die Klasse \(A_i\) \(m\) Elemente fallen, bestimmt und hieran anschliessend der mittlere zu befürchtende Fehler und das Gewicht der für \(A_i\) geltenden Klassenzahl \(n_i\) definirt und berechnet, wobei auf etwaige mehrfache wahrscheinlichste Fehlerverteilungen Rücksicht genommen wird.
Als Beispiel werden die bekannten 300 Bradley’schen Declinationsbestimmungen, die Bessel in den Fundamenta astronomiae mitteilt, ausführlich behandelt.

MSC:

94B70 Error probability in coding theory
33B20 Incomplete beta and gamma functions (error functions, probability integral, Fresnel integrals)
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