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On the reduction of positive quaternary quadratic forms. (De la réduction des formes quadratiques quaternaires positives.) (French) JFM 14.0145.01

Es wird auf diese Formen die Methode ausgedehnt, die Selling für die Reduction der ternären positiven Formen aufgestellt hat.
Durch eine ganzzahlige Substitution von der Determinante \(\pm 1\) gehe die gegebene Form \(f\) über in eine äquivalente \(F\). Man führe dann in \(f\) eine fünfte Variable \(u\) ein, indem man \(x,y,z,t\) ersetzt durch \(x-u,\;y-u,\;z-u,\;t-u\) und analog in \(F\) die neuen Variabeln \(X, Y, Z, T\) durch \(X-U,\;Y-U,\;Z-U,\;T-U\). So gelangt man zu zwei Formen \(\varphi ,\varPhi\) die man so schreiben kann, dass sie sich aus den (zehn) Quadraten der Differenzen den fünf Variabeln linear zusammensetzen, und die für \(u=0\), resp. \(U=0\) wieder rückwärts in \(f\), resp. \(F\) übergehen. Die Substitution, die dann \(\varphi\) in \(\varPhi\) überführt, ist leicht angebbar: ist ihre Determinante gleich \(\pm 1\), so sind \(\varphi\) und \(\varPhi\) äquivalent.
Die Aufgabe ist nun, diese neue Form \(\varphi\) mit fünf Variabeln auf ihre reducirte Form zu bringen. Nennt man die Coefficienten succ. \(a, b, c, \ldots , l\), so heisst die Form eine reducirte, wenn irgend eine der drei (gleichwertigen) Bedingungen erfüllt ist:
1) Alle Coefficienten sind positiv;
2) \(a\) ist allein negativ und dem absoluten Werte nach kleiner, als \(b,c,d,e,f,g\);
3) \(a\) und \(h\) sind allein negativ: daher ist \(a\), absolut genommen, kleiner als \(b, c, d, e, f, g\); und \(h\) absolut kleiner als \(b, c, e, f, k, l\); endlich ist noch der absolute Wert von \(a+h\) kleiner als \(b, c, e, f\).
Es giebt immer nur eine zu \(\varphi\) äquivalente Form, die eine dieser Bedingungen und damit alle erfüllt. (Dabei sind aber die zwischen den Variabeln möglichen Permutationen ausser Acht gelassen.) Die erforderliche Substitution setzt sich aus folgenden zwei einfachen Substitutionen zusammen: \[ \begin{matrix} \l\quad & \l\\ x\;=\;T_Z, & \;x\;=\;Y-X, \\ y\;=\;X-U, & \;y\;=\;U-T, \\ z\;=\;Y-U, & \;z\;=\;U-Z, \\ t\;=\;T-U, & \;t\;=\;Y-T, \\ u\;=\;0, & \;u\;=\;0. \end{matrix} \]

MSC:

11E20 General ternary and quaternary quadratic forms; forms of more than two variables
11H55 Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)
15A63 Quadratic and bilinear forms, inner products
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Full Text: Numdam EuDML