Franel, J. On a formula useful in the determination of ceratin asymptotic values. (Sur une formule utile dans la détermination de certaines valeurs asymptotiques.) (French) JFM 29.0167.02 Math. Ann. 51, 369-387 (1899). Die Abhandlung ist der Bestimmung der asymptotischen Werte gewisser Summenausdrücke gewidmet, und zwar wird als eine solche Summe gleich anfangs \(\sum\limits_{xy\leqq n}[n/xy]\) genannt, wobei unter \([A]\) die grösste ganze, in \(A\) enthaltene Zahl gemeint ist und sich die Summe auf alle positiven ganzen Zahlen \(x\), \(y\) bezieht; natürlich braucht man nur die mit \(xy\leqq n\) übereinstimmenden Zahlenpaare zuzulassen. Der Verf. berechnet als asymptotischen Wert dieser Summe für wachsendes \(n\): \[ \frac12n[(\log n + 3C-1)^2 - 3C^2 + 6C_1 +1] + R(n^{\frac23}\log n). \] Hierbei ist \(C\) die Euler’sche Constante und \(C_1=0,07281584548\) ...; ferner bedeutet \(R(n^{\frac23}\log n)\) einen Ausdruck, der, durch \(n^{\frac23}\log n\) dividirt, bei wachsendem \(n\) unterhalb einer von \(n\) unabhängigen bestimmten Zahl bleibt. Die Untersuchung basirt auf dem Gebrauch einer Function \(\vartheta(n)=\sum\limits_{xy=n}f(x)g(y)\), wo \(f\) und \(g\) beliebige Functionen sind und die Summe sich auf alle Zerlegungen \(n=x.y\) der Zahl \(n\) in ganzzahlige Factoren \(x\), \(y\) bezieht. Die in der Ueberschrift der Abhandlung gemeinte Formel betrifft diese Function \(\vartheta(n)\) und lautet: \[ \sum_{s=1}^n\vartheta(n) = \sum_{r=1}^\nu foG\left[\frac nr\right] + \sum_{r=1}^\nu goF\left[\frac nr\right] - F(\nu)G(\nu). \] Hier ist \(\nu=[\sqrt n]\), und \(F\), \(G\) sind in der Bedeutung \[ F(n) = \sum_{s=1}^n f(s),\,G(n) = \sum_{s=1}^n g(s) \] gebraucht. Eine ganz entsprechende Untersuchung wird für die nächst allgemeinere Function \(\vartheta(n)=\sum\limits_{xyz=n}f(x)g(y)h(z)\) durchgeführt. Der Verf. bedient sich bei der Verificirung dieser Formeln einer geometrischen Denkweise, bei welcher \(x\), \(y\), bez. \(x\), \(y\), \(z\) rechtwinklige Coordinaten sind. Den Uebergang zu der am Anfang genannten asymptotischen Darstellung gewinnt Verf., indem er die drei Functionen \(f\), \(g\), \(h\) mit 1 identisch annimmt. Reviewer: Fricke, Prof. (Braunschweig) Cited in 3 Reviews MSC: 11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas 11N37 Asymptotic results on arithmetic functions JFM Section:Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines. Keywords:asymptotics of arithmetic functions PDFBibTeX XMLCite \textit{J. Franel}, Math. Ann. 51, 369--387 (1899; JFM 29.0167.02) Full Text: DOI EuDML References: [1] Dirichlet’s Werke, zweiter Band, herausgegeben von H. Fuchs. [2] Voir, à ce sujet, une lettre de Dirichlet à Kronecker, Oeuvres de Dirichlet, tome II, page 407. This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.