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Some observations of the orders of infinity of functions. (Alcune osservazioni sugli ordini d’infinito delle funzioni.) (Italian) JFM 17.0392.01

Bologna Mem. (4) V. 739-750 (1885).
Sind \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) Functionen der reellen Veränderlichen \(x\), welche beide für ein und denselben Wert von \(x\), etwa für \(x = \infty\) positiv unendlich gross werden, so beurteilt man für gewöhnlich die Grade des Unendlichwerdens beider Functionen nach dem Verhalten des Quotienten oder, was dasselbe ist, nach dem Verhalten der Differenz log \(f(x)\)-log \(\varphi(x)\).
Pincherle bemerkt, dass dieser Definition eine gewisse Willkürlichkeit anhaftet, insofern man an Stelle des Quotienten oder der Differenz der Logarithmen auch andere aus \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) gebildete Ausdrücke betrachten kann. In dieser Hinsicht giebt der Verfasser folgende Verallgemeinerung der üblichen Definitionen: Es sei \(F(z)\) eine mit \(z\) beständig und unbegrenzt anwachsende Function und \(\delta(x)=F(f(x))-F(\varphi(x))\). Die Ordnung des Unendlichen von \(f(x)\) in Bezug auf die Form \(F(z)\) heisse grösser als die von \(\varphi(x)\), wenn jene Differenz \(\delta(x)\) mit wachsendem \(x\) positiv unendlich wird, u. s. w. Ist \(F(z) =\) log \(z\), so stimmt diese Definition mit der gewöhnlichen überein. Es ist zu bemerken, dass zwei Functionen welche in Bezug auf eine Form von derselben Ordnung unendlich werden, in Bezug auf eine andere Form von ungleicher Ordnung sein können. Für die allgemeinere Definition gilt derselbe Satz, welchen Herr P. Du Bois-Reymond für die übliche Definition bewiesen hat: Ist irgend eine Reihe unendlich werdender Functionen \[ f_1,f_2,\dots,f_n,\dots \] gegeben, so existirt stets eine Function, welche von höherer Ordnung unendlich wird, als irgend eine Function jener Reihe. Ferner besteht der Satz: Wenn die Differenz zweier unendlich werdenden Functionen beständig positiv ist, so giebt es immer eine Form \(F(z)\), in Bezug auf welche die beiden Functionen von verschiedener Ordnung unendlich gross werden. Legt man die gewöhnliche Definition zu Grunde und betrachtet nur Functionen der Form \[ \sum_1^n{}_i a_1x^{a_i}, \] unter \(a_i, \alpha_i\) reelle Grössen verstanden, so kann man jeder Function den grössten der Exponenten \(\alpha_i\) als Masszahl des Unendlichwerdens zuordnen. Es gelten dann die drei elementaren Gesetze:
A. Die Masszahl einer Summe von Functionen ist gleich der grössten der Masszahlen, welche den einzelnen Summanden zukommen.
B. Die Masszahl des Productes von Functionen ist gleich der Summe der Masszahlen der Factoren.
C. Substituirt man eine Function in eine andere, so multipliciren sich die Masszahlen.
Der Verfasser zeigt nun, dass man leicht Functionssysteme bilden kann, bei welchen es unmöglich ist, die Ordnung des Unendlichen durch Masszahlen auszudrücken unter Festhaltung der Gesetze \(A, B, C\), selbst wenn die Ordnungen je zweier Functionen des Systems vergleichbar sind und Masszahlen zugelassen werden, welche aus unendlich vielen Einheiten zusammengesetzt sind. Will man die Ordnung des Unendlichwerdens der Function symbolisch darstellen, so ist es zweckmässig, wie der Verfasser ausführt, die Ordnung von \(f(x)\) gleich log \(f(\omega)\) zu setzen. Dabei bedeutet \(\omega\) ein Symbol, welches den gewöhnlichen Rechnungsgesetzen unterworfen ist, und es ist \[ f(\omega)+\varphi(\omega)=f(\omega) \] zu setzen, wenn \(f(x)\) eine unendlich werdende, dagegen \(\varphi(x)\) eine endlich bleibende Function vorstellt.

MSC:

30E15 Asymptotic representations in the complex plane