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Analytic research on the third order surface, that is the reciprocal of Steiner’s surface. (Recherches analytiques sur la surface du troisième ordre qui est la réciproque de la surface de Steiner.) (French) JFM 05.0396.01

Nouv. Ann. (2) XI. 319-327. 337-347. 418-428. XII. 55-71 (1872,1873).
Obwohl die Arbeit auch jetzt noch nicht vollständig erschienen ist, so möchte doch ein weiteres Hinausschieben des Referates nicht erwünscht sein.
Ein Theil der Resultate der vorliegenden Untersuchungen ist in der Arbeit der Verfassers: Sur la surface de Steiner (Inst. XI. 116) ebenfalls enthalten und in dem darauf bezüglichen Referat im vierten Bande dieser Fortschritte p. 303 JFM 04.0303.02 mitgetheilt. (Man vergleiche auch das Referat über eine Arbeit von Eckardt F. d. M. Bd.IV. p. 394, JFM 04.0394.03). Es wird sich also in diesem Referate wesentlich um die Aufgabe der Methode und der wichtigsten weiteren Resultate handeln.
Der Verfasser geht von den fünf mit beliebigen Constanten multiplicirten Abständen \(a b c d e\) eines beliebigen Punktes von fünf festen Ebenen aus, welche er als pentaedrische Coordinaten jenes Punktes ansieht, und zwischen denen eine lineare homogene Gleichung existirt.
Die Gleichung \[ u=at^4+4bt^3+6ct^2+4dt+e=0 \] stellt alsdann für jeden Werth von \(t\) eine Ebene dar, welche bei variirendem \(t\) eine gewisse abwickelbare Fläche sechsten Grades einhüllt, deren Gleichung ist \[ i^3-27j^2=0, \] wo \(i\) und \(j\) die quadratische und cubische Invariante der Form \(a\) sind, also \[ i=ae-4bd+3c^2 \]
\[ j= \left|\begin{matrix} a & b & c\\ b & c & d\\ c & d & e\end{matrix}\right|. \] Die Rückkehrcurve dieser abwickelbaren Fläche ist eine Curve \(Z\) sechsten Grades mit den Gleichungen. \[ i=0,\quad j=0, \] und aus den Formen der Gleichungen folgt ohne Weiteres, dass ihre Schmiegungsebenen zugleich Tangentialebenen der Fläche \(j=0\) in den entsprechenden Punkten sind, dass also \(Z\) für die Fläche dritten Grades \(j=0\) eine asymptotische Linie ist. Es wird nun gezeigt, dass jede asymptotische Curve der Fläche \(j=0\) dieselben Eigenschaften hat, und dass man durch passende Wahl des Coordinatenpentaeders die beiden durch irgend einen Punkt der Fläche \(j=0\) gehenden asymptotischen Curven in derselben Form darstellen kann. Die Fläche \(j=0\) aber ist die polar reciproke der Steiner’schen Fläche, denn sie besitzt vier Knotenpunkte, welche bestimmt sind durch die Gleichungen \[ \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{c}. \] Von dieser Fläche \(j=0\) werden zunächst die in dem citirten Referat mitgetheilten Eigenschaften entwickelt. Alsdann wendet sich der Verfasser zur Betrachtung der Knotenlinien der erwähnten abwickelbaren Flächen, welche Raumcurven vierten Grades und zweiter Art sind, vom Verfasser Quartiken genannt zum Unterschied von denen erster Art, die er Biquadratiken nennt. Es zeigt sich, dass jede beliebige Quartik die Knotenlinie einer abwickelbaren Fläche sechster Ordnung und vierter Klasse ist, und dass durch jede Generatrix dieser Fläche und die Quartik eine geradlinige Fläche dritten Grades hindurchgeht. Weiter ergiebt sich, dass, wenn sich aus den Generatrices der abwickelbaren Fläche ein geschlossenes Polygon bilden lässt, dessen Eckpunkte selbstverständlich auf der Knotenlinie liegen, dieses Polygon geschlossen bleibt, wie man auch die erste Seite variire. Hieran schliessen sich noch weitere Ausführungen. Die Untersuchung der Asymptotenlinien \(Z\) führt ebenfalls zu mehreren interessanten Resultaten. Zwei beliebige Schmiegungsebenen von \(Z\) schneiden nämlich die Fläche \(i=0\) in zwei Kegelschnitten, und der Scheitel eines der beiden Kegel, welche durch diese beiden Kegelschnitte gelegt werden können, liegt auf der Fläche \(j=0\) und beschreibt diese Fläche vollständig, wenn man die beiden Schmiegungsebenen sich beliebig ändern lässt.
Die Curve \(Z\) besitzt vier stationäre (Rückkehr-) Punkte. Ordnet man dieselben auf irgend eine Weise in zwei Paare, so entspricht einer solche Gruppirung eine involutorische Theilung der Curve. Man verbinde die Doppelpunkte einer solchen Involution durch eine Gerade. Die drei Geraden, welche man auf diese Weise erhält, liegen in einer Ebene, welche die Centralebene der Curve \(Z\) genannt wird. Alle asymptotischen Linien der Fläche \(j=0\) haben dieselbe Centralebene, diese wird deshalb auch als Centralebene der Fläche \(j=0\) bezeichnet, und es ist diejenige Ebene, welche diese Fläche in den drei Geraden schneidet, die nicht durch Knotenpunkte der Fläche hindurchgehen. Weitere Betrachtungen beziehen sich auf eine Fläche vierten Grades, den Ort der bereits oben erwähnten Knotenlinien, über deren Zusammenhang mit dem übrigen betrachteten Gebilden sich noch mancherlei Sätze ergeben.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
51E10 Steiner systems in finite geometry
51N35 Questions of classical algebraic geometry
14J26 Rational and ruled surfaces
15A63 Quadratic and bilinear forms, inner products
11R16 Cubic and quartic extensions
14H50 Plane and space curves
34M30 Asymptotics and summation methods for ordinary differential equations in the complex domain
51M20 Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces
51N20 Euclidean analytic geometry
Full Text: EuDML