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Arithmetical equivalents for a remarkable identity between theta functions. (English) JFM 48.1167.01

Von der Hermiteschen Relation \[ \begin{aligned} &-\vartheta _0'(x+y+z)\,\vartheta _0(x)\,\vartheta _0(y)\,\vartheta _0(z) + \vartheta _0(x+y+z)\,\vartheta _0'(x)\,\vartheta _0(y)\,\vartheta _0(z)\\ &+\vartheta _0(x+y+z)\,\vartheta _0(x)\,\vartheta _0'(y)\,\vartheta _0(z) + \vartheta _0(x+y+z)\,\vartheta _0(x)\,\vartheta _0(y)\,\vartheta _0'(z)\\ &= \vartheta _1'\vartheta _1(x+y)\,\vartheta _1(y+z)\, \vartheta _1(z+x) \end{aligned} \] ausgehend, gewinnt der Verf. durch Vergleichung der Koeffizienten gleicher Potenzen der bekannten Größe \(q\) eine Reihe von Beziehungen allgemeineren Charakters zwischen geraden Zahlen \(l_1\), \(l_2\), \(l_3\), \(l_4\) und den ungeraden \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(m_4\), welche den Gleichungen \[ l_1^2+l_2^2+l_3^2+l_4^2=m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2 =n \] (\(n\) beliebig, aber \(\equiv 4\) mod 8) genügen. Diese Relationen, in ihrer Gesamtheit genommen, ergeben umgekehrt wieder die Gleichung von Hermite, weshalb sie der Verf. die “arithmetical equivalents” dieser Gleichung nennt.
Andere aus der obigen ableitbare Thetarelationen führen nach demselben Verfahren auf arithmetische Beziehungen von etwas komplizierterer Beschaffenheit.

MSC:

11E45 Analytic theory (Epstein zeta functions; relations with automorphic forms and functions)
11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Werke,1, pp. 506, 509.
[2] Comptes Rendus. Paris,85 (1877), p. 731.
[3] Mathematische Annalen,17 (1880), p. 213. · JFM 12.0616.01
[4] Transactions of the American Math. Socioty,22 (1921). p. 5.
[5] Journal des Mathématiques, (2)3 (1858), pp. 357?360. · ERAM 055.1449cj
[6] Journal für d. r. u. a. Math.,105 (1889), pp. 251?262.
[7] Oeuvres,4. p. 199. · JFM 46.0034.12
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