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On free topological groups. (Russian. English summary) Zbl 0061.04210

gruppe von \(G\) ist.
Zu jedem vollstandig regulären \(X\) gibt es eine topologisehe Gruppe \(F\) so, daß \(X\) Teilraum von \(F\) ist und \(F\) erzeugt, und daß zu jeder Abbildung \(\varphi\) von \(X\) in eine topologische Gruppe \(G\) ein stetiger Homomorphismus \(\Phi\) von \(F\) in \(G\) existiert mit \(\Phi x = \varphi x\) \((x\in X)\). \(F\) ist im wesentlichen einzig, und heißt die freie topologische Gruppe über \(X\). \(X\) ist (algebraisch) Basis von \(F\). Jede topologische Gruppe ist Faktorgruppe einer freien.
Wichtige Beweismittel:
Norm auf einer Gruppe = reellwertige Funktion \(N\) mit \(N\, 1 = 0\), \(N(xy^{-1}) \le N(x)+N(y)\). Multinorm = Menge \(\mathfrak N\) von Normen, so daß
1. aus \(N_1\in\mathfrak N\), \(N_2\in\mathfrak N\) folgt \(N_1 + N_2\in\mathfrak N\).
2. aus \(N\in\mathfrak N\), \(a\in G\) folgt \(N_a\in G\), wo \(N_a(x) = N(a^{-1}xa)\),
3. zu jedem \(a\ne 1\) ein \(N\in\mathfrak N\) existiert mit \(Na\ne 0\).
Eine Multinorm \(\mathfrak N\) definiert eine Topologie in \(G\), in der jedes \(N\in\mathfrak N\) stetig ist. Die Gesamtheit der stetigen Normen von \(G\) bestimmt die Topologie von \(G\). Stetigkeit von Homomorphismen kann durch Betrachtung der Abbildung der Multinormen erkannt werden.
Analoga zu den bekannten Satzen über die Darstellung von diskreten Gruppen als Faktorgruppen von freien Gruppen.
Interessante ungelöste Probleme.
Reviewer: Hans Freudenthal

MSC:

22Axx Topological and differentiable algebraic systems

Keywords:

group theory
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