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Certaines propriétés des séries de Taylor d’un ensemble au plus dénombrable de variables dans les corps valués complets et une démonstration structurale des formules de M. Pollaczek. II. (French) Zbl 0033.15701

Verf. betrachtet in diesem zweiten Teil seiner Abhandlung [Teil I, Zbl 0033.15602] die wichtigeren Eigenschaften des logarithmischen Grenzwertes und die Formeln von Pollaczek. Ist \(\xi\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel von \(K\), so definiert man
\[ \log_m \gamma^* = \log\left(1 + \sum_{i=0}^{+\infty} (\xi^m - 1)^i \alpha_i\right)\qquad (m = 0, 1, \ldots, p -1) \]
mit \(\gamma^* = 1 + \sum \alpha_iz^i\). Verf. beweist, daß für jedes \(j = 0, 1, \ldots, p-2\) und jedes \(d>\lambda\), sobald \(\vert\alpha_i\vert<d^{-i}\) \((i = 0, 1, \ldots)\) ist, \(L_j(\gamma^*)\) existiert und gleich \(\displaystyle \sum_{m=0}^{p-1} \Theta_{j,m} \log_m\gamma^*\) \((\Theta_{j,m}\in K)\) ist. Die Formeln von Pollaczek:
\[ L_0(\gamma^*) = \sum_{m=0}^{p-1} (\log_0 \gamma^* - \log_m \gamma^*) \quad\text{und}\quad L_j(\gamma^*) = \frac{(-1)^j}{p} \left(\sum_{m=1}^{p-1} \varepsilon_m^j \xi^m\right) \cdot \sum_{m=1}^{p-1} \varepsilon_m^{-j} \log_m\gamma^* \]
für \(j = 1,\ldots, p-2\) werden bewiesen, wo \(\varepsilon_m\) eine \((p-1)\)-te Einheitswurzel von \(K\) ist.

MSC:

12J27 Krasner-Tate algebras

Citations:

Zbl 0033.15602
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