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The Taylor series. An introduction to the theory of functions of a complex variable. (English) JFM 57.0339.10

Oxford: Clarendon Press. xii, 552 p. 67 fig. (1931).
Dieses Buch gliedert sich in zwei Teile, deren jeder sieben Kapitel enthält. Der erste Teil gibt eine Einführung in die Cauchy-Weierstraßsche Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen; der zweite Teil berichtet über Ergebnisse in einigen ausgewählten Abschnitten der Theorie, die zum größten Teil erst in den letzten Jahren und fast sämtlich im gegenwärtigen Jahrhundert gefunden worden sind. Über die Voraussetzungen, die die Lektüre des Buches erfordert, sagt Verf.: “Abgesehen vom Lebesgueschen Integral und von der Riemannschen Theorie der trigonometrischen Reihen, die in den beiden letzten Kapiteln angewendet werden, wird nur die Kenntnis der Anfangsgründe der elementaren Differential- und Integralrechnung vorausgesetzt”.
Die Kap. I–IV sind vorbereitender Natur; ihre Titel lauten: I. Reelle Veränderliche. II. Algebra der komplexen Zahlen. III. Unendliche Reihen. IV. Die elementaren Funktionen. Am Schluß von Kap. II gibt Verf. einen sehr kurzen (acht Seiten langen) Abriß der hyperkomplexen Algebren, die ein fortgeschrittener Studierender interessant und anregend finden dürfte.
Kap. V (“Komplexe Differentiation”) befaßt sich hauptsächlich mit dem “Maximumprinzip” und seinen Folgerungen; es umfaßt auch das Phragmén-Lindelöfsche Prinzip, den Hadamardschen Dreikreisesatz, den Hardyschen Konvexitätssatz und die Sätze von Vitali und Montel.
Kap. VI (“Sprache der Geometrie”) bringt einen Beweis des Jordanschen Kurvensatzes, eine kurze Erörterung des Zusammenhangs von Gebieten und einige einfache Eigenschaften der Stieltjesschen Integrale.
In Kap. VII (“Komplexe Integration”) wird die Cauchysche Theorie eingeführt; außerdem werden einige Bedingungen – von Vivanti, Dienes, Fabry und Hadamard – für einen singulären Punkt hergeleitet.
Ein Student, der nur die Elemente der Funktionentheorie kennen lernen will, findet in diesen sieben Kapiteln alles, was er braucht, mit Ausnahme der geometrischen Funktionentheorie (Riemann) und der Theorie spezieller Funktionen, von denen nur die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen behandelt werden. Für diese Dinge mag der Student das Lehrbuch der Funktionentheorie von Osgood oder von Hurwitz-Courant oder Teil II der “Modern analysis” von Whittaker-Watson zur Hand nehemen. Außerdem sind den Kapiteln I–V und VII Aufgaben beigegeben, die für einen solchen Studenten geeignet sind.
Im zweiten Teil nimmt das Buch naturgemäß einen individuelleren Charakter an. Einige Kapitel, besonders X–XIV, enthalten Ergebnisse, die bisher in Lehrbuchform noch nicht dargeboten worden sind.
In Kap. VIII (“Eineindeutige Abbildung, der Picardsche Satz”) werden unter anderm die Sätze von Bloch, Schottky, Landau und Picard vorgetragen.
Kap. IX (“Darstellung analytischer Funktionen”) handelt von den Arbeiten von Mittag-Leffler, Runge, Borel und Painlevé über diesen Gegenstand.
Kap. X (“Singularitäten analytischer Funktionen”) ist der Untersuchung einer analytischen Funktion als Funktion der Koeffizienten einer ihrer Taylorschen Reihen gewidmet und enthält die schönen Sätze von Pólya und Szegö über Funktionen mit ganzzahligen oder nur endlich vielen verschiedenen Koeffizienten.
Kap. XI (“Überkonvergenz und Lückensätze”) gruppiert sich um die Arbeiten von Ostrowski.
In Kap. XII (“Divergente Reihen”) bildet die Toeplitz-Schursche Matrix die Grundlage; es wird das Problem der Summierbarkeit behandelt. Dieses Kapitel enthält auch einige, bei Erscheinen des Buches noch unveröffentlichte Ergebnisse über die allgemeine Theorie der Summabilität, die man L. S. Bosanquet und Verf. verdankt, sowie die Hardy-Littlewoodschen notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Summierbarkeit durch arithmetische Mittel.
Kap. XIII (“Die Taylorsche Reihe auf dem Konvergenzkreis”) bringt die Sätze von Landau, Bohr, R. Nevanlinna und Fatou über beschränkte Funktionen, von Fatou und M. Riesz über Konvergenz oder Summierbarkeit an regulären Stellen, und den Satz des Verf. über Konvergenz an einer singulären Stelle, die auf einem Kurvenbogen enthalten ist, auf dem die Funktion von beschränkter Variation ist.
Kap. XIV (“Divergenz und Singularitäten”) gibt einen Bericht über Arbeiten von Hadamard, Hardy-Littlewood und Verf. über die Ordnung einer singulären Stelle und ihre Beziehung zu den arithmetischen oder allgemeineren Mitteln der Taylorschen Reihe.
In Kap. VIII–XIV sind die Beispiele, die nicht zahlreich sind, in den Text eingearbeitet, und es werden auch die Lösungen gegeben. Jedem Leser dieser Kapitel werden aber auch die “Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis” von G. Pólya und G. Szegö (1925; JFM 51.0173.01) zugänglich sein.
Das Buch ist sorgfältig gedruckt und enthält eine 28 S. einnehmende Bibliographie. (IV 2.)
Besprechungen: Nature 130 (1932), 188. J. F. Ritt; Bull. Am. Math. Soc. 38 (1932), 792–793. L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 42 (1932), 48-49 kursiv. G. B. J.; Math. Gaz. 16 (1932), 358. A. Zygmund; Mathesis Polska 7 (1932), 65–67. N. Miller; Am. Math. Mon. 30 (1932), 418-420. R. Schmidt; Zentralblatt 3 (1932), 155–156.

MSC:

30-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functions of a complex variable
41A58 Series expansions (e.g., Taylor, Lidstone series, but not Fourier series)

Citations:

JFM 51.0173.01