Gambioli, D. On the expansion in powers of \(x\) of the fraction \(1/\sum_0^n a_rx^r\), where \(a_0=1\). (Sopra lo sviluppo secondo le potenze di \(x\) della frazione \(1 : \sum^n_0 a_rx^r\), ove è \(a_0=1\).) (Italian) JFM 24.0225.01 Batt. G. XXX, 35-39 (1892). Setzt man \(\sum^n_0 a_rx^r=f(x)\), so kann man \(1:f(x)\) in die Reihe \[ \sum^\infty_0(-1)^rP_rx^r \] entwickeln, wo gesetzt ist \[ P_0=1,\quad P_1=a_1,\quad P_2= a^2_1-a_2,\quad P_3=a^3_1-2a_1a_2+a_3,\dots; \] dann besteht die Gleichung \[ \sum^n_1(-1)^{n+1}P_{n-r}a_r=0. \] Bezeichnet \(s_r\) die Summe der \(r^{\text{ten}}\) Potenzen der Wurzeln der Gleichung \(f(x) = 0\), so ist \[ (-1)^rP_r=\frac{1}{r+1}\;\frac{\partial s_{r+1}}{\partial a_1}\,, \] und man kann der Entwickelung von \(1:f(x)\) auch die Form \[ \sum^\infty_0\;\frac{1}{r+1}\;\frac{\partial s_{r+1}}{\partial a_1}\;x^r=\sum^\infty_0\;\frac{1}{(r+1)^2}\;\frac{\partial s_{r+1}}{\partial a}\;\frac{\partial x^{r+1}}{\partial x} \] geben. Reviewer: Weltzien, Prof. (Zehlendorf) Cited in 1 Review MSC: 41A58 Series expansions (e.g., Taylor, Lidstone series, but not Fourier series) JFM Section:Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 1. Allgemeines. Keywords:Power series expansions PDFBibTeX XMLCite \textit{D. Gambioli}, Battaglini G. 30, 35--39 (1892; JFM 24.0225.01)