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On Taylor’s formula. (Sulla formola di Taylor.) (Italian) JFM 23.0253.01

Der Verfasser definirt die Taylor’sche Reihe unabhängig von der Convergenz in folgender Weise. Es sei \(f(x)\) eine reelle Function der reellen Veränderlichen \(x\) und convergire gegen \(a_0\) für \(x=0\); ferner convergire \([f(x)-a_0]:x\) gegen \(a_1\) für \(x=0\); ausserdem convergire \[ \frac {f(x)-a_0} x - a_1 \] gegen \(a_2\) für \(x=0\) u.s.w. Es soll demnach die Formel \[ f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots \] bedeuten, dass \[ \lim_{x=0} \frac {f(x) - a_0 - a_1 x - a_2 x^2 - \cdots - a_{n-1} x^{n-1}} n = a_n \] oder dass \[ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \alpha x^n, \quad {\text{wo}} \quad \lim_{x=0} \alpha = 0. \] Unter dieser Voraussetzung werden dann die Sätze über die Summe zweier Reihen, ihr Product, ihren Quotienten, u.a. bewiesen.

MSC:

41A58 Series expansions (e.g., Taylor, Lidstone series, but not Fourier series)
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