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Semi-De Morgan algebras. (English) Zbl 0628.06011
Une semi-algèbre de De Morgan est une algèbre (L,\(\wedge,\vee,',0,1)\) telle que: (1) (L,\(\wedge,\vee,0,1)\) est un treillis distributif avec plus petit et plus grand élément, (2) \(0'=1\) et \(1'=0\), (3) \((x\vee y)'=x'\wedge y'\), (4) \((x\wedge y)''=x''\wedge y''\), (5) \(x\prime''=x'\). On note DM(L) l’ensemble des éléments de L vérifiant \(x''=x\). Le principal résultat est alors que DM(L) est une algèbre de De Morgan en remplaçant la loi \(\vee\) par x\({\dot \vee}y=(x'\wedge y')'\), ce qui généralise le théorème de Glivenko. Ceci permet également de trouver de nouvelles axiomatisations des treillis distributifs pseudo- complémentés, des algèbres de Stone et des algèbres de De Morgan. L’A. introduit également, dans une semi-algèbre de De Morgan, la relation de congruence (entre x et y) définie par \(x'=y'\), ce qui lui permet de prouver un théorème de décomposition pour les congruences sur les demi-p-treillis. L’A. étudie aussi les algèbres de Stone faibles, et termine par un certain nombre de problèmes ouverts.
Reviewer: D.Ponasse

MSC:
06D30 De Morgan algebras, Łukasiewicz algebras (lattice-theoretic aspects)
06D15 Pseudocomplemented lattices
06B10 Lattice ideals, congruence relations
03G25 Other algebras related to logic
08B05 Equational logic, Mal’tsev conditions
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