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Solutions in integers belonging to an arithmetic progression of indeterminate equations of the form \(\sum_{r=1}^{r}x_{\nu}^{n}=x_{\nu+1}^{n}\). (Soluzioni intere in progressione arithmetica appatenenti a equazioni indeterminante del tipo \(\sum_{r=1}^{r}x_{\nu}^{n}=x_{\nu+1}^{n}\).) (Italian) JFM 38.0243.01

Beweis der folgenden beiden Sätze: 1. Die unbestimmte Gleichung \(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}=x_{3}^{n}\) läßt ein System ganzzahliger Lösungen, die eine arithmetische Progression bilden, nur für \(n=2\) zu, und in diesem Falle muß \(x_{1}:x_{2}:x_{3}=3:4:5\) sein. 2. Die unbestimmte Gleichung \(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+x_{3}^{n}=x_{4}^{n}\) läßt ein System ganzzahliger Lösungen, die in arithmetischer Progression stehen, nur für \(n=3\) zu, und in diesem Falle muß \(x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}=3:4:5:6\) sein. – Ob ähnliche Sätze für \(r>3\) bestehen, bleibt unenschieden.

MSC:

11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
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