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On differential equations which belong to the class \(\frac{dx}{(U_x)^{\frac 2n}}+\frac{dy}{(U_y)^{\frac 2n}}+\cdots=0\), where \(U_x=(a, b, c, d, e \ldots) (x, 1)^n\). (English) JFM 16.0291.05

Die Bemerkung, dass die in der Ueberschrift enthaltene Gleichung invarianten Charakter hat und daher die Lösung einer Differentialgleichung dieser Form lediglich aus Covarianten des Systems \(U_x, U_y, \dots\) und Constanten bestehen muss, führt unmittelbar zur Integration der Euler’schen Gleichung \[ \frac{dx}{\sqrt{U_x}}+\frac{dy}{\sqrt{U_y}}=0, \] wo \[ U_x\equiv (a, b, c, d, e)\;(x, 1)^4, \] sowie der von Herrn MacMahon in den Ed. Times 1884 (siehe Abschn. VI. Cap. 2 pag. 229-230 (JFM 16.0229.03) und F. d. M. XV. 1883. 284 (JFM 15.0284.01)) aufgestellten \[ \frac{dx}{(U_x)^{\frac 23}}+\frac{dy}{(U_y)^{\frac 23}}+\frac{dz}{(U_z)^{\frac 23}}=0, \] wo \[ U_x=(a, b, c, d)\;(x, 1)^3. \]

MSC:

34A25 Analytical theory of ordinary differential equations: series, transformations, transforms, operational calculus, etc.
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