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Investigation of several works of Leonardo of Pisa and diverse questions in higher arithmetic. (Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure.) (French) JFM 09.0111.02

Boncompagni Bull. 10, 129-193, 239-293 (1877).
Die Werke des Leonhard von Pisa sind lediglich der Ausgangspunkt für eigne Untersuchungen des Herrn Lucas über verschiedene dort behandelte Probleme.
Das erste Capitel ist der recurrenten Reihe von der Form der Glieder \(u_n=u_{n-1}-+u_{n-2}-\) und den Anfangsgliedern \(u_0=0, u_1=1\) gewidmet; sie führt den Namen der Lamé’schen Reihe, trotzdem Leonhard von Pisa sie zuerst betrachtete. Ihr allgemeines Glied hat die independente Form \[ u_n=\left\{\left[\frac{1+\sqrt 5}{2}\right]^n-\left[\frac{1-\sqrt 5}{2}\right]^n\right\}:\surd5. \] Die hauptsächlichen ihrer Eigenschaften sind: 1) Der grösste gemeinsame Theiler von \(u_n\) und \(u_m\) ist \(u_k\), wo \(k\) den grössten gemeinsamen Theiler von \(n\) und \(m\) bedeutet. 2) Enthält \(u_n\) den Primfactor \(p\) genau in der \(\lambda^{\text{ten}}\) Potenz, so ist \(u_{n.p}\) das erste Glied der Reihe, welches genau die \(\lambda+1^{\text{te}}\) Potenz von \(p\) enthält. 3) Ist \(p\) eine Primzahl von der Form \(10q\pm1\) (bez. \(10q\pm3\)) so ist\(u_{p-1}\) (bez. \(u_{p+1}\)) durch \(p\) theilbar. Herr Lucas behauptet umgekehrt auch: Ist \(u_{p-1}\) (bez. \(u_{p+1}\)) durch \(p\) theilbar, ohne dass es ein \(u_k\) ist, wenn \(k\) einem Theiler von \(p-1\) (bez. \(p+1\)) bedeutet, so ist \(p\) eine Primzahl von den Form \(10q\pm1\) (\(10q\pm3\)). Bei dieser Fassung (vgl. auch F. d. M. VIII, 81, JFM 08.0081.02) ist zwar unmittelbar ersichtlig, dass die gegebene Bedingung hinreichend, aber nicht dass sie nothwendig sie. Nicht erst\(u_{14}=377\), schon \(u_7=13\) ist durch 13 theilbar. Mit dem Wilson’schen Theorem darf das obige also nicht verglichen noch ihm überlegen genannt werden. An anderen Stellen ist die Fassung des Theorems vorsichtiger. Im Falle man nach der angegeben Regel untersuchen will, ob \(2^m-1\) eine Primzahl ist, wird die obige Reihe der \(u_n\) bequemer durch \( v_1= 1,v_2=3\) und von nun an \(v_{4n}=v_{2n}^2-2\) ersetzt. Die wirkliche Berechnung wird durch Benutzung des binären Zahlsystems vereinfacht; die dabei nöthigen Operationen werden auseinandergesetzt.
Im zweiten Capitel folgt die Behandlung der congruenten Zahlen. Der Ausdruck congruent ist ein von dem jetzt allgemein gebräuchlichen abweichender. \(a\) heist congruent, wenn den Gleichungen \( x^2-ay^2=z^2,\;x^2+ay^2=z_1^2\)resp. der Gleichung \(x^4-a^2y^4=z_2^2\) genügt werden kann. Unterhalb 10 giebt es nur drei congruente Zahlen 5, 6, 7. Für die beiden ersten Fälle werden Formeln aufgestellt, welche aus einer Lösung des Systems eine neue ableiten. Dasselbe geschieht bei dem Systeme \( x^2+x+2=u^2,\;x^2-x-2=v^2\). Dann folgt die Behandlung der Aufgabe: Zu einer gegebenen congruenten Zahl eine zweite congruente zu finden, derart, dass das Product beider gleichfalls eine congruente Zahl ist.
Den Inhalt des dritten Capitels bildet die ausführliche Behandlung der beiden Gleichungen \(Ax^4\pm By^4=\pm Cz^ 2,\;Ax^4\pm By^4=\pm Cz^4\), in denen \(A, B, C\) ganze Zahlen sind, welche nur die Primfactoren 2 und 3 enthalten. Auch für diese werden ähnliche Reductionsformeln aufgestellt, so weit die Gleichungen für die verschiedenen möglichen Werthe der \(A, B, C\) deren Lösungen zulassen. Im vierten Capitel werden mit Hülfe einfacher symbolischer Bezeichnungen viele theils bekannte, theils neue Recursionsformeln für die Bernoulli’schen Zahlen und für die Potenzsummen der ganzen Zahlen abgeleitet. \(\varDelta f(x)\) bezeichnet \(f(x+1)-f(x),\;S_m \text{ist} =1^m+2^m+\cdots+(x-1)^m\) dann folgt z. B. indem man \(f(x)=x^n\) und \(f(x)=(x-1)^n\) setzt, symbolisch \[ (S+1)^n-S^n=x^n-1,\quad S^n-(S-1)^n=(x-1)^n, \] wo in der linken Seite die Potenzexponenten der \(S\) durch die entsprechenden Indices zu ersetzen sind. Ebenso hat man für die Bernoulli’schen Zahlen \(B_n\) die symbolischen Gleichungen \[ \begin{matrix} nS_{n-1}=(x+B)^n-B^n,\quad(1+B)^n-B^n=0; \\ (B+2)^n-(B+1)^n=n;\quad B^n-(B-1)^n=n(-1)^{n-1}, \\ (2B+1)^n-(2B-1)^n=2n(-1)^{n-1}.\end{matrix} \] Endlich wird das bereits früher ohne Beweis von Herrn Lucas mitgetheilte Theorem abgeleitet; Die Summe gleicher ungrader Potenzen der ersten \(x\) Glieder einer arithmetischen Reihe ist durch die Summe der \(x\) ersten Glieder der Reihe theilbar.
Das letzte, fünfte Capitel, welches verschiedene Probleme behandelt, knüpft an die \(u\)-Reihe des ersten an, indem aus dieser die Regel für die Bildung der graden vollkommenen Zahlen abgeleitet wird. Dann folgt die Behandlung mehrerer unbestimmter Gleichungen.

MSC:

11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11B39 Fibonacci and Lucas numbers and polynomials and generalizations
11B25 Arithmetic progressions
11B68 Bernoulli and Euler numbers and polynomials
11D25 Cubic and quartic Diophantine equations

Biographic References:

Leonardo of Pisa

Citations:

JFM 08.0081.02