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The Euler method for the integration of some linear differential equations illustrated by means of the integrating equation. (La méthode d’Euler pour l’intégration de quelques équations différentielles linéaires démontrée à l’aide de léquation intégrante.) (French) JFM 04.0150.03

Arch. Néerl. VII, (1872); Versl. en Mededeel. (2) VI, 122-139 (1872).
Die lineare Gleichung mit constanten Coefficienten \[ Ay+B\frac {dy}{dx}+C \frac {d^2y}{dx^2}+D \frac{d^3y}{dx^3}+E\frac {d^4y}{dx^4}+\cdots=0 \] wird unmittelbar integrabel, wenn man sie mit einem Factor \(\varphi\) multiplicirt, so dass \[ A\varphi-B\frac {d\varphi}{dx}+C \frac{d^2\varphi}{dx^2}+\cdots =0 \] ist. Aus beiden Gleichungen folgt: \[ 0=B \frac{d\varphi y}{dx}+C\cdot \frac{d}{dx}\left(\varphi \frac {dy}{dx}-y \frac{d\varphi}{dx}\right)+D\left(\varphi\frac {d^3y}{dx^3}+y\frac {d^3\varphi}{dx^3}\right)+E\left(\varphi\frac {d^4y}{dx^4}-y\frac {d^4\varphi}{dx^4}\right)+\cdots \] Setzt man die Coefficienten von \(B, C, D, E\cdots=0\), so folgen, wie der Verfasser zeigt, die so erhaltenen Gleichungen aus der ersten und dritten Gleichung, und diese geben den Werth von \(\varphi\).
Die Note enthält ferner eine ähnliche Discussion in Bezug auf die lineare Gleichung von der Form: \[ Ay+Bx\frac {dy}{dx}+Cx^2\frac{d^2y}{dx^2}+\cdots, \] worin \(A, B, C\) Constanten sind. Hinsichtlich einer allgemeinen Discussion der Euler’schen Methode in ihrer Anwendung auf lineare Gleichungen verweist der Verfasser auf die oben erwähnte Arbeit von Jong (siehe p. 148).

MSC:

34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations
34A30 Linear ordinary differential equations and systems