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Compound interest as described by Jacob Bernoulli. (Die stetige Verzinsung bei Jakob Bernoulli.) (German) Zbl 1332.01014

From the summary (as paraphrased by the reviewer): “Als Zugang zur Eulerschen Zahl \(e\) ist die sogenannte ‘stetige Verzinsung’ in der elementaren Analysis unverzichtbar. In den Lehrbüchern wird immer wieder eher vage angedeutet, dass die stetige Verzinsung auf Jakob Bernoulli (1655–1705) zurückgeht. Ein konkreter Hinweis dazu fehlt jedoch. Die Einführung der Eulerschen Zahl mit Hilfe der stetigen Verzinsung geschieht dann immer ohne historischen Bezug auf Bernoulli in der modernen Sprache der Analysis nach Cauchy und Weierstraß. Was hat Jakob Bernoulli wirklich zur stetigen Verzinsung gesagt? Dieser Beitrag ist ein Versuch, diese Frage im Hinblick auf Verbesserung der Information für den gymnasialen Mathematikunterricht zu beantworten. Der Verfasser bemüht sich also, die historischen Hintergründe zu verstehen. Als erstes wird der lateinische Urtext von Bernoulli übersetzt. Dann werden die damaligen Auffassungen recherchiert und mit heutigen Denkweisen verglichen. Man erhält didaktische Anregungen für den heutigen Mathematikunterricht, welche dem Leser vielleicht überraschend erscheinen.”
Reviewer’s remarks: From the above short survey of the contents by the author, one learns that he deals with a detailed exposition of Jacob Bernoulli’s Quaestiones nonnullae de usuris (1690), where Bernoulli handels de facto the series \[ a\cdot \sum^\infty_{n=0} {1\over n!}\Biggl({b\over a}\Biggr)^n, \] in relation to a treatment on compound interest. The author proceeds then with the so-called “geometric application” of the series, followed by questions how and if Bernoulli did observe whether there was a connection between the notions of “logarithm” with a particular differential equation. He concludes with surveying the research in his article as follows (an almost verbatim translation by the reviewer): “The author states to have found two possible ways, how Bernoulli might have found his sequence dealing with compound interest in De usuris. One way runs via the corresponding differential equation with looking at, and comparing of, the coefficients as done by Leibniz in 1693. The other way runs via the “limit building” of \((1+{1\over n})^n\) via the binomial sequence. The last possibility cannot be overgone, as Newton did so two decennia earlier than 1690.”
After the author’s mathematics, he provides the reader some mathematical-didactical observations and valuable recommendations; very informative.
Finally, the number \(e\) written so, was introduced by L. Euler in 1727; in print it did appear in a paper by Euler in 1736 (view [E. Maor, \(e\): the story of a number. Princeton, NJ: Princeton University Press (1994; Zbl 0805.01001)]).
The reviewer read with great joy this nice and detailed article.

MSC:

01A45 History of mathematics in the 17th century
01A50 History of mathematics in the 18th century
01A60 History of mathematics in the 20th century
91-03 History of game theory, economics, and finance
97M30 Financial and insurance mathematics (aspects of mathematics education)
97I30 Sequences and series (educational aspects)

Biographic References:

Bernoulli, Jacob

Citations:

Zbl 0805.01001
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References:

[1] Bernoulli, J.: Quaestiones nonnullae de usuris. Acta Eruditorum, Mai, S. 219-222 (1690). (Auch in: Jacobi Bernoulli Basileensis, Opera. Tomus secundus. Genf: Cramer & Philibert 1744, S. 427-431. Und in: Die Werke von Jakob Bernoulli, Bd. 4. Basel: Birkhäuser 1993, S. 160-163)
[2] Bernoulli, J.: Positionum de seriebus infinitis pars quinta. Hrsg. Nicolaus Bernoulli. (Ein Neffe von Jakob Bernoulli), Basel (1704). Auch in: Jacobi Bernoulli Basileensis, Opera. Tomus secundus. Genf: Cramer et Philibert 1744. Und in: Die Werke von Jakob Bernoulli, Bd. 4, S. 127-147. Birkhäuser, Basel (1993)
[3] Büchter, A., Henn, H.W.: Elementare Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2010) · Zbl 1197.00034
[4] Danckwerts, R., Vogel, D.: Analysis für den Leistungskurs. Metzler-Verlag, Stuttgart. (1986). (Neuauflage: „Elementare Analysis“. Books on Demand, Norderstedt) (2005)
[5] Euler, L.: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Erster Teil. Ins Deutsche übertragen von H. Maser. Springer, Berlin (1885) · JFM 17.0200.01
[6] Gottwald, S. et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a. M. ( 1990)
[7] Krauss, S.: Die Entdeckungsgeschichte und die Ausnahmestellung einer besonderen Zahl. Teach Math 2, 105-118 (1999)
[8] Maor, E.: e: The story of a number. Princeton University Press, Princeton (1994) · Zbl 0805.01001
[9] Müller-Stach, S.: Otto Toeplitz: Algebraiker der unendlichen Matrizen. Math Semesterber 61, 53-77 (2014) · Zbl 1308.01009
[10] Sonar, T.: 3000 Jahre Analysis. Springer, Berlin (2012) · Zbl 1352.01004
[11] Toeplitz, O.: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung. Aus dem Nachlass herausgegeben von Gottfried Köthe. Springer, Berlin (1949) · Zbl 0035.14603
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