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Theory of matrices. (Теория матриц) (Theorie der Matrizen.) (Russian) Zbl 0050.24804

Moskva: Gosudarstv. Izdat. Tekhn.-Teor. Lit. 491 p. (1953).
Das Buch stellt eine weitausholende und gründliche Darstellung der Matrizentheorie dar, in der namentlich die Leistungen sowjet-russischer Forscher in besonderem Maße berücksichtigt worden sind. Unter 153 Nummern des Literaturverzeichnisses beziehen sich über 2/3 auf sowjet-russische Arbeiten. Zur Abgrenzung der Darstellung gegen andere Lehrbücher der Matrizentheorie wäre zu sagen, daß die Beziehungen zur abstrakten Algebra nur flüchtig erwähnt sind. Ebenso sind die in den letzten Jahren viel bearbeiteten Probleme der Abschätzungen von Determinanten und charakteristischen Wurzeln mit ein paar Hinweisen abgetan.
Im ersten Teil des Buches, das den Grundlagen der Theorie gewidmet ist, ist das zweite Kapitel hervorzuheben, in dem der Gaußsche Algorithmus zur Auflösung linearer Systeme und seine Verallgemeinerungen besprochen werden. In zwei Kapiteln wird die algebraische und geometrische Theorie der Elementarteiler entwickelt, wobei die Nichterwähnung der Weierstraßschen Potenzreihenmethode für eine handbuchartige Darstellung eine Lücke zu sein scheint, bei der großen Tragfähigkeit der funktionentheoretischen Methoden. Endlich ist in diesem Teil auf das Kapitel über Matrizengleichungen hinzuweisen.
Der zweite, den Spezialfragen und Anwendungen gewidmete Teil enthält insbesondere eine neue Darstellung der Kroneckerschen Theorie der singulären Formenbüschel und einen großen Abschnitt über nichtnegative Matrizen und ihre Anwendungen auf die Theorie der Markovschen Ketten. Von besonderer Wichtigkeit ist das Kapitel XIV über die Anwendungen auf Systeme linearer Differentialgleichungen, in dem die Fortentwicklung der Lyapunovschen Theorie sowie die berichtigte und ergänzte Behandlung der Birkhoffschen Ansätze dargestellt werden. Ein längeres Kapitel über die determinantentheoretische Behandlung des sogenannten Routh-Hurwitzschen Problems beschließt das Werk.
Das Buch ist sehr lesbar geschrieben. Die Durchsicht des oben hervorgehobenen Kapitels XIV wäre wohl jedem zu empfehlen, der für die dort behandelten Fragestellungen Interesse hat.
Reviewer: A. Ostrowski

MSC:

15-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to linear algebra
34A30 Linear ordinary differential equations and systems
34Dxx Stability theory for ordinary differential equations