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Anzahl der Moduln einer Klasse algebraischer Flächen. (German) JFM 20.0794.04

In dieser bedeutsamen Note weist der Verfasser nach, dass, wie eine Klasse algebraischer Curven des Geschlechtes \(p\), d. h. die Gesamtheit aller aus einer solchen Curve durch rationale eindeutig umkehrbare Substitution ableitbaren Curven, von \(3p-3\) Parametern, den Moduln der Klasse, abhängt, ähnlich die allgemeine Flächenklasse des Geschlechtes \(p\) durch \(10(p+1)-2p_2\) Parameter bestimmt ist; dabei bedeutet \(p_2\) die Anzahl der beweglichen Schnittpunkte einer solchen Fläche \(f\) von der \(n^{\text{ten}}\) Ordnung mit zwei ihrer adjungirten Flächen \(\varphi\) von der Ordnung \(n-4\). Die Ableitung dieser Zahl gelingt durch Transformation auf eine Normalfläche der Klasse, deren Ordnung \(N=p_2=p_1-1\) ist (\(p_1\) ist das Geschlecht der beweglichen Schnittcurve von \(f\) mit einer der Flächen \(\varphi\)), und deren charakteristische Eigenschaft darin besteht dass die ebenen Schnitte einer solchen Normalfläche \(F\) zu denjenigen beweglichen Curven vom Geschlechte \(p_1\) gehören, welche aus \(F\) durch die zu \(F\) adjungirten Flächen \(\varPhi\) der Ordnung \(p_2-4\) ausgeschnitten werden können. Da die Doppelcurve einer solchen Fläche die Ordnung \(M=\frac 12p_2(p_2-5)\), den Rang \(R\) und \(T\) dreifache Punkte hat, und aus einer dieser Flächen \(\infty^{4p-1}\) weitere abgeleitet werden können, da ferner \(\infty^\gamma\) \[ (\gamma=\tfrac 16(p_2+1)(p_2+2)(p_2+3)-1-\{(3p_2+1)M-\tfrac 52R-11T\}) \] Flächen \(p_2^{\text{ter}}\) Ordnung existiren, und endlich die Mannigfaltigkeit der Curven \(M^{\text{ter}}\) Ordnung mit \(T\) dreifachen Punkten in unserem Falle \(\beta'=4M-3T+p-4\) ist, so beträgt die Anzahl der Moduln einer Flächenklasse \[ Z=\beta'+\gamma-(4p-1)=10(p+1)-2p_2. \] Fünf interessante Beispiele schliessen die Note.

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