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Harmonic analysis in infinite dimension. (English) Zbl 0795.46029

Die Hermite’sche Transformation \(\Phi\) ist \[ \Phi(f)(u)= \int f(x)\exp (\langle u,x\rangle- | u|^ 2/2) \mu(dx), \] die Wick’sche Transformation ist \[ \widetilde{\sigma}= \int \exp(\langle u,x\rangle- | u|^ 2/2)\sigma (du). \] Damit ist \(\Phi(\widetilde{\sigma})\) die Laplace’sche Transformation \(\widehat{\sigma}\) von \(\sigma\) und allgemein durch \(\Phi\Phi^*\) definiert. \((\Phi)\) bildet den Raum \(({\mathcal H})\) der reellen \(L^ 2(\mu)\) Funktionen \(f\) auf einen lokal konvexen Lusin Raum \(E\) ab. Ebenso bildet \(\Phi\) den Raum der Hida Testfunktionen \(({\mathcal S})\) auf den Unterraum \({\mathcal H}_ \infty\) ab [Yu. G. Kondrat’ev, Sov. Math., Dokl. 22, 588-592 (1980; Zbl 0474.46033)]. \({\mathcal H}_ \infty\) wird hier näher untersucht und gezeigt, daß \({\mathcal S}= {\mathcal H}_ \infty\) und eine Algebra für das gewöhnliche und das Wick Produkt dargestellt. Auf ähnliche Weise wird gezeigt, daß \(\Phi\Phi^*\) ein Isomorphismus von \(({\mathcal S})'\) auf \(({\mathcal H})'\) ist und \(({\mathcal S})'\) eine Faltungsalgebra darstellt. [\((\;)'\) ist der duale Raum von \((\;)\).] Die Darstellung positiver Distributionen in \({\mathcal H}_ \infty\) und ihre Darstellung in \({\mathcal S}\) wird hier, nach Einführung eines geeignet gewählten Kapazitätsbegriffes, einfacher bewirkt als bei Kondratev und Y. Yokoi [Hiroshima Math. J. 20, No. 1, 137-157 (1990; Zbl 0714.60052)]. Es werden hier auch Formeln abgeleitet, die sich von endlichen auf unendliche Dimensionen verallgemeinern lassen.

MSC:

46F25 Distributions on infinite-dimensional spaces
28C20 Set functions and measures and integrals in infinite-dimensional spaces (Wiener measure, Gaussian measure, etc.)
13C15 Dimension theory, depth, related commutative rings (catenary, etc.)
44A10 Laplace transform
43A99 Abstract harmonic analysis
46F05 Topological linear spaces of test functions, distributions and ultradistributions
46E25 Rings and algebras of continuous, differentiable or analytic functions
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References:

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