×

The linear invariants of ten quaternary quadrics. (English) JFM 53.0094.01

Es handelt sich in der Hauptsache um eine dem Pascalschen Satze für die \(c_2\) analoge Beziehung zwischen zehn Punkten einer \(F_2\). Die Aufgabe wird hier mittels der symbolischen Invariantentheorie behandelt. Es soll die Koeffizientendeterminante \(\varDelta \) von zehn quaternären quadratischen Formen \(A, B,\ldots, K\) in einfacher Weise als Aggregat \(\varDelta '\) von Produkten symbolischer Faktoren vom Typus \((abcd)\) dargestellt werden.
Zunächst läßt sich \(\varDelta '\) als eine Summe \(\Sigma \lambda (abcd)(acfg)(bejk)(cfkh)(dghi)\) mit numerischen \(\lambda \) ansetzen.
Behufs wirklicher Ausführung wird eine Art Induktion angewendet, die, von einfacheren Spezialfällen ausgehend, schließlich zum allgemeinen Falle führt.
Man gehe von der symbolischen Gleichung der durch neun der zehn Punkte \(a,b,\ldots,k\), etwa mit Ausschluß von \(a\), bestimmten \(F_2\) aus und nehme zunächst die drei letzten Punkte in gerader Linie an. Dann reduziert sich \(\varDelta \) auf ein Aggregat \(\varDelta _0\), das nur noch gewisse Produkte von Faktoren \((abcd)\) resp. \((a'b'c'd')\) enthält. Durch weitere Umformungen kommt \(\varDelta _0\) auf ein Aggregat \(G\) von nur fünf symbolischen Produkten zurück. Analog, nur verwickelter, vollzieht sich ein solcher Umformungsprozeß bei der allgemeinen Invariante \(\varDelta '\).
Hieraus werden geometrische Folgerungen gezogen. Es lassen sich invariante Kriterien dafür aufstellen, daß: 1. zehn Punkte auf einer \(F_2\) liegen, 2. sieben Punkte und eine Gerade, 3. vier Punkte und zwei Gerade, 4. ein Punkt und drei Gerade.
Ferner ergeben sich Sätze, wie: Jede Gerade, die einer \(F_2\) durch \(7\) gegebene Punkte angehört, gehört einem kubischen, durch die \(7\) Punkte bestimmten Komplexe an.
Zuletzt wird noch auf die Struktur der in \(\varDelta '\) auftretenden symbolischen Produkte näher eingegangen. Es gibt solcher zwölf verschiedene Typen, die sich zu einer Gruppe zusammenfassen lassen.
Trotz aller Anerkennung für die kunstvollen symbolischen Rechnungen, an denen Gordan seine Freude gehabt hätte, bleibt doch der Wunsch bestehen, zu den wertvollen geometrischen Ergebnissen auf einem einfacheren und direkten Wege zu gelangen. Überdies scheint dem Referenten, als ob die ursprünglich gestellte Aufgabe nicht eigenlich gelöst ist. Denn es fehlt an einer dem Pascalschen Satze analogen Konfiguration von zehn einer \(F_2\) angehörigen Punkten.
Im Übrigen scheinen den Verf. die einschlägigen geometrischen Untersuchungen von P. Serret (F. d. M. 8, 1876 (JFM 08.1876.*), 504) unbekannt geblieben zu sein.

Citations:

JFM 08.1876.*