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The Greek mathematics in its highest development (Diophantos). (Die griechische Mathematik in ihrer höchsten Entwicklung (Diophantos.).) (Polish) JFM 57.1291.05
Sucht der Bedeutung Diophants gerecht zu werden, wobei näher nur auf die einleitenden Definitionen und auf einzelne Beispiele der ”Arithmetik” eingegangen wird. Die Ansichten der Verf. über das Verhältnis der vorgriechischen zur griechischen Mathematik müssen auf Grund der neuen Forschungsergebnisse revidiert werden. Auch darf bei der Betrachtung der Entwicklung der Arithmetik die Rolle des Irrationalen für die Geometrisierung der Arithmetik nicht vergessen werden. Es ist richtig, das die griechischen Buchstabenzahlen einen “Hemmschuh” für die Entwicklung darstellten, aber nicht deshalb, weil man nur schwer mit ihnen rechnen konnte (das ergab die Übung!), sondern weil der Erfindung einer Buchstabenrechnung ein Riegel vorgeschoben war. Wenn in dem herangezogenen Beispiel (II, 19) drei Zahlen \(x, y = x +m\) und \(z = x + n\) (nach unserer Schreibung) gesucht werden, derart, daß \(z^2 - y^2 = k \cdot (y^2-x^2)\), und Diophant sofort \(k=3\) und \(m = 1\) nimmt, so vertreten diese bestimmten Zahlen notgedrungen die allgemeinen Zahlen \(k\) und \(m\). Die Methode zur Bestimmung von \(x + n\) wird aber nicht von Diophant verheimlicht, sondern ist aus dem Text vollkommen klar und keineswegs “dunkel”. Es muß doch sein \(x^2 = x^2 + 2nx + n^2 = x^2 + 8x + 4\); damit \(x\) positiv wird, dürfen die \(\varepsilon\overset{_\varkappa }{\text{ı}}\delta\eta \) \(2n\) und \(n^2\) nicht beide größer als die ihnen entsprechenden Zahlen 8 und 4 sein. So ergibt sich \(2 < n < 4\), also \(n = 3\), \(x=2\frac {1}{2}\), und \(z = x + 3\). Genau so hätte man für \(m = 2\) eine Bedingung für \(n\), nämlich \(4 < n < 8\) bekommen. Bei \(n = 5\) z. B. erfüllen die Zahlen 3/2, 7/2 und 13/2 die Aufgabe. So erscheint es mir nicht zweifelhaft, daß Diophant die allgemeine Methode beherrschte; nur mußten eben bestimmte Zahlen für die allgemeinen Zahlen einspringen.

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