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On the integrating factor for first order differential expressions which contain an arbitrary number of independent variables. (Du facteur intégrant pour les expressions différentielles du premier ordre renfermant un nombre quelconque de variables indépendantes.) (French) JFM 02.0309.03
Den Gegenstand der Untersuchung bildet die Integration der totalen Differentialgleichung: \[ X_1dx_1+ D_2dx_2+\cdots+ X_ndx_n=0 \tag{1} \] in den Fällen, wo sie möglich ist, durch die Bestimmung des Faktors \(\mu\), der die linke Seiten integrabel macht. Derselbe muss \(\frac{n(n-1)}{2}\) Gleichungen und die Coefficienten \(X_1,X_2,\dots X_n\) \(\frac{n(n-1)(n-2)} {1.2.3}\) Bedingungsgleichungen genügen. Die Zahl der letzteren reducirt sich auf \(\frac{(n-1)(n-2)}{2}\); sind diese erfüllt, so findet sich \(\mu\) definirt durch \(n-1\) simultane partielle Differentialgleichungen, welche, wenn \[ \mu=e^z, \quad \frac{dz}{dx_k}= p_k \] gesetzt wird, die Form annehmen: \[ f_m=X_1p_m- X_mp_1+ \frac{dX_1}{dx_m}- \frac{dX_m}{dx_1}=0, \quad m=2,3\dots n. \tag{2} \] Die Integrabilitätsbedingungen für diese sind, wie auf direktem Wege bewiesen wird, eine unmittelbare Folge der erwähnten \(\frac{(n-1)(n-2)}{2}\) Bedingungsgleichungen für die Coefficienten der Gleichung (1).
Die Integration des Gleichungssystems (2) geschieht nach den beiden Methoden, die der Verfasser in der vorher besprochenen Arbeit entwickelt hat, nach der allgemeinen Jacobi’schen und nach der von Boole für die Integration linearer Gleichungen angegebenen Methode, für welche letztere die Gleichungen für \(\mu\) zuvor in homogene verwandelt werden. Es folgen dann einige bekannte allgemeine Theoreme über den intgrirenden Faktor, und darauf die Untersuchung des besonderen Falls, wo derselbe in ein Produkt von Funktionen zerlegbar ist, deren jede nur eine einzige Variable enthält. Als nothwendige und hinreichende Bedingung hierfür wird gefunden, dass \[ \frac{dX_m}{dx_1}- \frac{dX_1}{dx_m} \] sich für alle Werthe des Index \(m\) auf die Form \(X_1\varphi_m(x_m)- X_m\varphi_1(x_1)\) bringen lasse, dergestalt, dass für alle solche Zerlegungen die Gleichung identisch ist. Es wird alsdann \[ \mu+ Ae^{\sum_{m=1}^{m=n} \int\varphi_m (x_m)dx_m}. \] Den Schluss der Betrachtungen bildet das Problem: Wenn \(m\) Funktionen \(X_1, X_2,\dots X_m\) von \(n\) Variablen gegeben sind, zwischen denen die zu Anfang erwähnten Bedingungsgleichungen bestehen, \(n-m\) neue Funktionen: \(X_{m+1},\dots X_n\) zu finden, so dass \[ X_1 dx_1+ X_2 dx_2+\cdots+ X_n dx_n \] durch einen Faktor integrabel wird.
Jede der neuen Funktionen muss einem System linearer partieller Differentialgleichungen gleichzeitig genügen, und es wird der erforderliche Nachweis geliefert, dass diese unter der gemachten Voraussetzungen den Integrabilitätsbedingungen genügen.
Die vorstehenden Untersuchungen werden hierauf an 4 Beispielen erläutert, auf welche übrigens nur die allgemeine Methode angewandt wird.
MSC:
34A05 Explicit solutions, first integrals of ordinary differential equations
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Full Text: DOI Numdam EuDML