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Letters on the theory of elliptic functions. (Lettres sur la théorie des fonctions elliptiques.) (French) JFM 02.0328.03
Herr J. Bertrand veröffentlicht hier 11 , bisher ungedruckte Briefe Jacobi’s an Legendre, aus den Jahren 1827-32. Sie zeigen uns, wie Jacobi durch das Studium der Arbeiten Legendre’s nach und nach zu den glänzenden Entdeckungen in der Theorie der elliptischen Funktionen geführt worden ist, die wir aus den “Fundamenta”, aus den Astronomischen Nachrichten und aus Crelle’s Journal kennen. Im I. Briefe vom 5. Aug. 1827 setzt Jacobi auseinander, wie die Multiplikation der elliptischen Funktionen 1. Gattung, welche Legendre in den Exercices de calcul intégral I. gegeben, durch eine Reihe successiver Transformationen ersetzt werden kann. Daran schliessen sich zahlentheoretische Untersuchungen, die Fundamentaltheoreme für cubische, biquadratische und Reste höherer Potenzen, zu denen J. durch das Studium des Legendre’schen Reciprocitätsgesetzes und der Disquisitiones arithm. (sectio VII.) von Gauss geführt ist. Der II. Brief (Jan. 1828) giebt eine Analyse von Abel’s Recherches sur les fonctions elliptiques \(\text{ I}^{\text{ère}}\) Partie (Crelle II.); und J.’s Untersuchungen über die Modulargleichungen. Brief III. enthält die Formeln für die complementäre Transformation, die Entwickelung der elliptischen Funktionen in unendliche Produkte und die Entwickelung nach sin und cos der vielfachen Argumente. Hier setzt J. den Gedankengang auseinander, der ihn zu seinen Theoremen geführt. IV. Ueber die zahlentheoretischen Folgerungen aus der Gleichung \[ \sqrt{\frac {2K}{\pi}}=1+2\sum q^{\nu^2} \] und aus ähnlichen Relationen zwischen den Constanten; sowie über die Beziehung der elliptischen Funktionen 3. Gattung mit 3 Variabeln zu andern Transcendenten von 2 Variabeln. V. enthält J.’s Untersuchungen über die allgemeine algebraische Lösung der Gleichung vom Grade \(n^2\), von der die Theilung der elliptischen Funktionen in \(n\) gleiche Theile abhängt. VI. (1829.) Ueber die Auflösbarkeit der Gleichung zwischen sin am \((u)\) und sin am \((nu)\), welche Abel auf eine algebraische Gleichung \((n+1)^{\text{ten}}\) Grades zurückführt. VII. Ueber Legendre’s Eintheilung der elliptischen Integrale 3. Gattung in 2 Classen; und über die geometrische ebene Construktion der Multiplikation der elliptischen Funktionen (Crelle III. 376). Brief VIII. enthält nur kurze Notizen, über Abel’s Tod, über die numerische Auswerthung der elliptischen Integrale 3. Gattung,über das in Schumachers Astr. Nachr. No. 127 veröffentlichte Fundamentaltheorem für die Transformation. In IX. (1830) steht ausser persönlichen Notizen nur Einiges über die Bezeichnung sin am ete. X. (1830) enthält eine Ergänzung zu Legendre’s Lösung der Gleichung \[ 4 \frac{x^n-1}{x-1}=Y^2 \pm nZ^2. \] Im letzten XI. Briefe (v. J. 1832) finden sich einige Notizen über seine Arbeiten aus der Störungstheorie, über die trigonometrische Lösung der Pell’schen Gleichung und die Verallgemeinerung derselben.

MSC:
33E05 Elliptic functions and integrals
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