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Integration of simultaneous first order partial differential equations for one function. (Intégration des équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre d’une seule fonction.) (French) JFM 02.0312.01

Die Arbeit ist im Wesentlichen eine Anwendung der von Jacobi gegebenen Methode für die Integration einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung auf die simultane Integration eines Systems solcher Gleichungen.
Die Aufgabe ist folgende:
Gegeben sind \(m\) Relationen: \[ f_1=0, f_2=0,\dots f_m=0 \tag{1} \] zwischen den Variablen \(q_1q_2\dots q_n\) und \(p_1 p_2\dots p_n\), es werden \(n-m\) andere Relationen zwischen den nämlichen Grössen gesucht, welche in Verbindung mit den ersteren bewirken, dass \(p_1dq_1+ p_2dq_2+\cdots p_ndq_n\) ein vollständiges Differential wird.
Die Integration dieses Ausdruckes giebt alsdann die Funktion \(V\), deren partielle Derivirte in Beziehung auf die \(q\) die entsprechenden \(p\) sind.
Es wird zunächst der Beweis für den Jacobi’schen Satz reproducirt, dass die nothwendige und hinreichende Bedingung für die Integrabilität obigen Ausdrucks durch die Gleichungen: \[ (f_kf_k)= \sum_{\alpha=1}^{\alpha=n} \biggl( \frac{df_i}{dq_\alpha} \frac{df_k} {dp_\alpha}- \frac{df_k}{dq_\alpha} \frac{df_i}{dp_\alpha} \biggr)=0 \tag{2} \] gegeben sei für alle Werthe der Indices \(i\) und \(k\).
Die Möglichkeit einer gemeinsamen Lösung des Systems (1) ist dadurch noch nicht ausgeschlossen, dass für irgend zwei Gleichungen desselben die Bedingung (2) nicht unmittelbar, sei es identisch, oder die Folge der gegebenen Gleichungen erfüllt ist. Fügt man nämlich zu den \(m\) gegebenen noch die Gleichung \((f_i f_k)= f_{m+1}=0\) hinzu, so kann es geschehen, dass gleichzeitig \((f_i f_{m+1})=0\) für \(i=1,2,\dots m\) ist, sollte dies aber für ein \(i\) nicht der Fall sein, so füge man noch die Gleichung \((f_i f_{m+1})=0\) hinzu und fahre so fort, bis man zu einem System \[ f_1=0, f_2=0,\dots f_{m'}=0 \] gelangt, welches der Bedingung (2) genügt.
Ist \(m'>n\), dann ist das Problem offenbar unmöglich; ist aber \(m'\leqq n\), dann ist es lösbar, nur dass durch die Einführung der neuen Relationen die Allgemeinheit der Lösung eingeschränkt wird, indem die Anzahl der willkürlichen Constanten durch jede neue Relation um 1 vermindert wird.
Es seien nun \[ f_1=0, f_2=0,\dots f_s=0 \] die Gleichungen, welche der Bedinungen (2) Genüge leisten, so erscheinen die gesuchten \(n-s\) anderen Relationen: \[ f_{s+1}= a_{s+1}, f_{s+2}= a_{s+2},\dots f_n=a_n, \] als simultane Lösungen von eben so vielen Hülfssystemen, von denen das für \(f_{s+i}\) aus den \(s+i-1\) linearen partiellen Differentialgleichungen: \((f_k,f_{s+i})=0\), \(k=1,2\dots s+i-1\); und zwar wählt der Verfasser für \(f_k\) die Form \(\varphi_k- p_k\), worin \(\varphi_k\) mit Hülfe der bereits gefundenen Gleichungen als Funktion der Grössen \(p_{s+i+1}, p_{s+i+2},\dots p_n\) und \(q_1 q_2\dots q_n\) ausgedrückt ist. Die Auflösung geschieht nach dem Jacobi’schen Verfahren, und man erhält schliesslich \(p_1 p_2\dots p_n\) als Funktionen der \(q\) mit \(n-2\) willkürlichen Constanten. Der Verfasser knüpft daran die Bemerkung, dass wenn die Gleichungen (1) dieselben bleiben, die Aufgabe aber dahin abgeändert wird, dass \[ \sum_i p_idq_i- \sum_h q_h dp_h \] integrabel werden soll, wo \(i\) irgend welche Werthe aus der Reihe \(1,2,\dots n\), \(h\) die übrigen annimmt, nicht blos die Integrabilitätsbedingungen, sondern auch die zu suchenden neuen Relationen dieselben sind, wie im vorigen Fall; nur die schliessliche Quadratur wird in beiden Fällen verschieden. Unseres Erachtens ergiebt sich dies unmittelbar durch einen Blick auf die canonische Form des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen, durch welches jede Gleichung \((\varphi_i,\varphi_k)=0\) ersetzt werden kann, und welches bekanntlich durch Vertauschung von \(q_h\) in \(p_h\) und von \(p_h\) in \(-q_h\) ungeändert bleibt.
Es erfolgen dann Betrachtungen über die verschiedenen Klassen der simultanen Lösungen eines Systems \(m\) partieller Differentialgleichungen erster Ordnung von \(n\) Variablen. Eine Lösung wird vollständig genannt, wenn sie so viele willkürliche Constanten enthält, dass deren Elimination aus der Integralfunktion und ihren \(n\) Ableitungen erster Ordnung ein Gleichungssystem ergiebt, welches dem gegebenen äquivalent ist.
Die Zahl der Constanten ist \(n-m+1\). Aus der vollständigen Lösung werden dann die allgemeinen singulären und gemischten Lösungen in bekannter Weise abgeleitet.
Die dargelegte Integrationsmethode wird auf das folgende System angewandt: \[ f_1=p_1q_4- q_2q_3=0, \quad f_2=p_2p_3- q_1q_4=0. \] Als vollständige simultane Lösung erhält man für zwei dabei zu unterscheidende Fälle: \[ V=2q_1^{\frac12} q_3^{\frac12} (q_2q_3- a)^{\frac12}+b \quad\text{und}\quad V+2q_1^{\frac12} q_2^{\frac12} (q_3q_4- a_1)+b_1. \] Es wird darauf der besondere Fall eines Systems linearer homogener Gleichungen, die den Integrabilitätsbedingungen genügen, nach der Methode Boole’s behandelt, die darin besteht, durch die vollständige Lösung einer derselben das gegebene System in ein anderes zu transformiren, in welchen die Zahl der Gleichungen, sowie die der Variablen um 1 vermindert ist. Sie erfordert daher beständig vollständige Lösungen, während für die nach der allgemeinen Methode eingeführten Hülfssysteme jedes Mal nur eine partikuläre gemeinsame Lösung nöthig war. Es werden nach beiden Methoden hierher gehörige Beispiele berechnet, deren Anführung wir uns versagen müssen. Zum Schluss stellen wir die citirte Literatur zusammen:
Cauchy, Erercises d’analyse et de mathématiques t. II.
Pfaff, Abh. d. berliner Akademie 1814.
Jacobi, Crelle’s Journal, II. 17, 60,
Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, herausgeg. von Clebsch, 1866,
Bour, Mémoires des Savants étrangers 1856,
Boole, Philosophical transactions 1863.

MSC:

35C05 Solutions to PDEs in closed form
35N10 Overdetermined systems of PDEs with variable coefficients
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Full Text: DOI Numdam EuDML