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On the analysis of curves represented in an arbitrary coordinate system. (Sur l’analyse des courbes rapportées à un système quelconque de coordonnées.) (French) JFM 02.0458.01
Denkt man die Parameter \(\varrho, \varrho_1, \varrho_2\) als gegebene Functionen einer unabhängigen Variable \(t\), so bestimmen sie eine Raumcurve, welche auf keiner der Coordinatenflächen liegt; die Bestimmung der Krümmungen dieser Curven nach den in der oben genannten Fundamental-Arbeit aufgestellten Principien, bildet den Inhalt der vorliegenden Abhandlung. An Stelle der Krümmungen setzt Herr Aoust auch hier die drei nach \(d\sigma, d\sigma_1, d\sigma_2\) genommenen Componenten, welche sich mit Hülfe der Seitenkrümmungen der Coordinatenlinien in mehrfacher und übersichtlicher Weise ausdrücken lassen. Ausser den gewöhnlichen Krümmungen der Raumcurve definirt H. Aoust, analog wie für die Coordinatenlinien \(\sigma, \sigma_1, \sigma_2\), Seitenkrümmungen. Denkt man nämlich durch jeden Punkt der Raumcurve eine Gerade gezogen, jede unendlich nahe der vorhergehenden, dann ist Seitenkrümmung eines Elementes \(\alpha\beta\) der unendlich kleine Winkel der durch \(\alpha\) und \(\beta\) gehenden Geraden, dividirt durch \(\alpha\beta\). Nennt man die variable Gerade \(r\), so redet Aoust von der Seitenkrümmung des Elementes \(\alpha\beta\) \((ds)\) nach \(r,\; A_r\). Interesse verdient der Fall, in welchem die Geraden Tangenten der Coordinatencurven \(\sigma\) sind, welche die Raumcurve treffen, weil die Componenten dieser auf \(d\sigma, d\sigma_1\) und \(d\sigma_2\) bezogenen Seitenkrümmuungen höchst einfache Formen für die Variationen liefern, welche die Winkel \(\varphi, \varphi_1, \varphi_2\) längs der Raumcurve erfahren. In dem zweiten Theil der Arbeit zeigt Aoust, wie diese Behandlung der Curven im Raume für verschiedene Fragen der Mechanik nutzbar gemacht werden kann.

MSC:
51N20 Euclidean analytic geometry
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
Keywords:
curve; coordinate; space
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Full Text: DOI Numdam EuDML