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Sur deux connexions affines généralisées. (French) JFM 62.0878.01

Die Größen im ersten Teile werden in bezug auf die “kinematische Gruppe” \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill ^\prime x^a={}^\prime x^a\,(x^0, x^1,\dots,x^n),\;^\prime x^0=x^0\,(a, b, c=1,\dots,n; \nu =0, 1,\dots,n) \hfill} \] definiert (Wundheiler, Math. Z. 36 (1932), 104-109; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 756; Hlavatý, Math. Z. 38 (1933), 135-145; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 683; Hokari, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 3 (1935), 15-26; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 824-825). Zur Konstruktion der Konnexion wird ein Ansatz aus der “geometry of paths” \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \frac{d^2\,x^a}{dt^2}+2\varGamma ^a=0 \hfill} \] gebraucht. Dabei hängen die \(\varGamma ^a\), \(\varGamma _b^a=\dfrac{\partial \varGamma ^a}{\partial y^b}\), \(\varGamma _{bc}^a=\dfrac{\partial ^2\varGamma ^a}{\partial y^b\,\partial y^c}\) nicht nur von \(x^a\), \(x^0\equiv t\), sondern noch von einem Vektor \(y^\nu \) \(\biggl(y^a=\dfrac{dx^a}{dt}, y^0=1\biggr)\) ab. Von den drei konstruierten Konnexionen gehen zwei auf Berwald zurück (Atti Congr. internaz. Mat., Bologna 1928, 4 (1931), 263-270; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 908; vgl. auch E. Cartan, Actual. sci. industr. 79 (1934); F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 948-950). Die dritte, welche bei Berwald (l. c.) nur auf Skalare angewendet wird, wird hier auch auf Vektoren angewendet. Die sonst übliche Verabredung über die funktionelle Abhängigkeit der \(\varGamma \) von \(y\) wird hier nicht ausdrücklich gefordert. Die kovarianten Ableitungen werden nur für spezielle Größen (“starke” nach Wundheiler, s. o.) und nicht für die allgemeinsten (Hlavatý, s. o.) konstruiert. Von den Krümmungsgrößen gehen zwei auf Berwald zurück. Diese sowie auch die übrigen beeinflussen die Lösungsart und Gestalt von (2), wie auch an Beispielen erläutert wird. Im zweiten Teile wird ganz analog die Geometrie von (2) in bezug auf die Gruppe \(^\prime x^a={^\prime x^a}\,(x^1,\dots,x^n)\) abgeleitet.
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Full Text: EuDML