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Die Fußpunktzyklide der linearen Strahlenkongruenz. (German) JFM 64.0697.03

In Fortsetzung der Untersuchungen der Verf. (Mh. Math. Phys. 41 (1934), 43-57; 44 (1936), 71-84; 45 (1936), 21-25; 45 (1937), 338-342. JFM 60.0583.*; 62\(_{\text{I}}\), 720, 769; 63\(_{\text{I}}\), 620) wird hier die Geometrie einer Zyklide ohne singulären Punkt entwickelt. Die Zyklide wird dabei als geometrischer Ort der Fußpunkte der von einem gegebenen Pol auf die Strahlen einer gegebenen linearen Kongruenz gefällten Lote erzeugt. – Es wird zuerst der Fall der hyperbolischen linearen Kongruenz behandelt und gezeigt, daß die gesuchte Fußpunktfläche von der dritten Ordnung ist. Diese \(F^3\) trägt fünf Geraden, und durch jeden ihrer Punkte gehen vier Kreise. Die analytischen Darstellungen der \(F^3\) zeigen, daß sie eine Zyklide dritter Ordnung ohne singulären Punkt ist. Die Horizontalebenenschnitte der Fläche (Leitgeraden der Kongruenz horizontal), die als kennzeichnende Merkmale der gestaltlichen Verhältnisse der \(F^3\) bestimmt werden, sind Kegelschnitte. – Die so erhaltenen Ergebnisse werden dann auf die elliptische und die parabolische lineare Kongruenz übertragen. Der dritte Abschnitt behandelt einige bemerkenswerte Abarten der Fußpunktzyklide, die dann eintreten, wenn man entweder den Pol festhält und gewisse Besonderheiten der Kongruenz vorschreibt oder wenn man die Kongruenz festhält und die Lage des Pols variiert. Es folgt die konstruktive Behandlung der allgemeinen Fußpunktzyklide \(F^3\): Sie trägt \(\infty^3\) Raumkurven vierter Ordnung \(k^4\), wobei durch jeden Punkt der \(F^3\) \(\infty^2\) Kurven \(k^4\) gehen; durch je zwei ihrer Punkte gehen \(\infty^1\) Kurven \(k^4\) und durch drei ihrer Punkte geht eine einzige \(k^4\). Die \(F^3\) trägt ferner \(\infty^2\) kubische Kegelschnitte \(k^3\), wobei durch jeden ihrer Punkte \(\infty^1\) solcher \(k^3\) gehen, während durch zwei ihrer Punkte genau ein \(k^3\) geht. Nach weiteren Untersuchungen der gestaltlichen Verhältnisse folgt endlich die Erzeugung der Fußpunktzyklide durch polare Abbildung der Kongruenz und durch Inversion. (V 4.)

Citations:

JFM 60.0583.*
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References:

[1] Die Fußpunktflächen des Strahlenparaboloides, Bd. 41 (1934), Seite 43; Zykliden als Fußpunktflächen, Bd. 44 (1936), Seite 71; Über besondere rationale Raumkurven fünfter Ordnung, Bd. 45 (1936), Seite 21; Über besondere rationale Raumkurven sechster Ordnung, Bd. 45 (1937), Seite 338.
[2] Vgl. Anm. 1. Über besondere rationale Raumkurven sechster Ordnung, Bd. 45 · Zbl 0016.37001
[3] Vgl. R. Müller, Die isogonen Kegel zweiten Grades diese Ztschr.38, (1931), Seite 352
[4] Vgl. Anm. 1.
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