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Regular and chaotic motion in classical mechanics. (Reguläre und chaotische Bewegung in der klassischen Mechanik.) (German) Zbl 1003.70001

Der Autor führt mit leichter Hand in die faszinierende Welt der nichtlinearen Mechanik – und, für den Leser fast unbemerkt, in eine der aktuellsten Fragestellungen der gegenwärtigen physikalischen Naturerkenntnis. Beginnend mit Poincaré: “Wo steht zur Zeit die mathematische Physik? ... Sind wir ... Zeugen einer tiefgehenden Veränderung?” in der Einleitung bis zur Schlußbemerkung, in der es (gekürzt) heißt: “Hundert Jahre nach Planck und Poincaré steckt die Physik wieder in einer Krise. Doch diesmal betrifft der Stillstand eher das, was in diesem Jahrhundert neu hinzukam: Quantenmechanik und Relativitätstheorie. Mechanik und Mathematik im Geiste der 19. Jahrhunderts erlebten dagegen eine überraschende Renaissance. Die Einsichten von namhaften Mathematikern bergen Schätze, die seit einigen Jahren auch für die mathematische Physik der Quantenfeldtheorie fruchtbar gemacht werden, in der man sich um eine Vereinigung von Quantenphysik und Relativitätstheorie bemüht. Mit dem Studium des “Chaos” hatte man sich für eine Weile von dieser Gedankenwelt entfernt, in der es vor allem um reguläres Verhalten geht. Inzwischen sieht es so aus, als gehörten die beiden zusammen: das eine läßt sich ohne das andere nicht verstehen. In den Phasenräumen der klassischen Mechanik sind Chaos und Regularität auf intime Weise verschlungen, und vielleicht sollten wir dies als Metapher nehmen, die weitere Gültigkeit beanspruchen kann.”
In diese klassische Mechanik führt der Autor den Leser über Kepler, über Newton, über Poincaré und das eingeschränkte Dreikörperproblem bis hin zum KAM-Theorem, um dann zunächst am Beispiel des Doppelpendels die Möglichkeiten der Phasenraumdarstellungen zu diskutieren und den Lösungszerfall von periodischen über chaotische zu periodischen Lösungen, von hoher zu niedriger Energie, eindrucksvoll und plastisch anhand bunter Poincaré-Schnitte zu vermitteln. “Eine erstaunliche Aussage des KAM-Theorems ist es,” heißt es dabei, “daß es für die Stabilität eines invarianten \(n\)-Torus gegenüber Störungen durch nichtintegrable Modifikationen der Bewegungsgleichungen darauf ankommt, ob der Torus durch rationale oder irrationale Frequenzverhältnisse charakterisiert ist”. Das ist zwar für den Mechaniker weniger erstaunlich, sind doch “Parameter- und Kombinationsresonanzen” in nichtlinearen Schwingern seit langem bekannt. Aber auch den Mechaniker führt dieses Theorem weiter, indem die entsprechenden Instabilitätsgebiete damit im allgemeinen als chaotische Gebiete charakterisiert werden.
Rationale und irrationale Frequenzverhältnisse (“resonante” und “irrationale” Tori) werden im nächsten Abschnitt am Kovalevskaya-Kreisel gezeigt, einem der neun bisher bekannten Fälle, in denen einen exakte Lösung gefunden werden konnte (von denen allerdings nur vier keine Einschränkungen in den Anfangsbedingungen aufweisen). Eine “nichtintegrable” Störung würde das außerordentlich komplexe Verhalten eines resonanten Torus sofort ins Chaos fallen lassen (und dazu genügt schon, wie es in der Beschreibung heißt, der Einfluß eines noch so leichten Kardanrahmens, wenn man versuchen wollte, den Kovalevskaya-Kreisel im Experiment aufzubauen). Eine anschauliche Deutung der Kovalevskaya-Lösungen hat bisher keiner der Autoren geben können, die sich mit der Vervollständigung und Vereinfachung der überaus komplizierten mathematischen Lösung beschäftigt haben (nach Magnus). Anschaulich sind die hier gezeigten Tori, resonant oder nicht, im eigentlichen Sinne natürlich auch nicht, jedoch “ins Bild zu setzen versucht, um sie so der Intuition leichter vermittelbar zu machen”. Auch für die klassische Kreiselmechanik ist damit ein großer Schritt getan. Man erkennt in vielem eine wohltuende Annäherung der Physiker (für die beispielweise, so auch hier, das Hamilton-Prinzip als das Grundprinzip der Mechanik gilt) an die (inzwischen auch bereits “klassische”) Mechanik des 20. Jahrhunderts – und umgekehrt. Um noch einmal, in leicht abgewandelter Form, zum Beginn zurückzukehren: inzwischen sieht es wieder so aus, als gehörten die beiden zusammen.

MSC:

70-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to mechanics of particles and systems
70K55 Transition to stochasticity (chaotic behavior) for nonlinear problems in mechanics
37N05 Dynamical systems in classical and celestial mechanics
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