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Group extensions for 45 years. (English) Zbl 0657.01011

“The true nature of mathematics is best represented as an elaborately connected network of formal ideas”. Diesen Satz, mit dem der vorliegende Artikel schließt, illustriert der Autor an der lebhaften und für beide Gebiete so fruchtbaren Interaktion zwischen Topologie und Algebra. In einem ersten Beispiel zeichnet er den Weg nach, wie er und Eilenberg in den 40er Jahren zur Cohomologietheorie der Gruppen geführt worden sind. In Arbeiten zur Klassenkörpertheorie hatte Mac Lane den Begriff der Faktormenge für Gruppenerweiterungen kennengelernt. Auf Grund von konkreten Berechnungen an einem Beispiel reifte in ihm und Eilenberg die Erkenntis, daß Faktormengen topologisch mit Hilfe der Homologie, bzw. Cohomologie zu interpretieren waren. Eine entscheidende Rolle spielte dabei ihre Entdeckung des Theorems der universellen Koeffizienten, welches die Beziehung zwischen der Homologie und der Cohomologie beschreibt. Die beiden Arbeiten von H. Hopf über den Einfluß der Fundamentalgruppe auf die 2. Bettische Gruppe wiesen dann den Weg, auf welche Weise “gekreuzte Homomorphismen” und “Faktormengen” auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern waren. Die kurz zuvor von Eilenberg gegebene Darstellung der singulären Cohomologie eines topologischen Raumes lieferten schließlich die expliziten Formeln für die korrekte Definition der Gruppencohomologie.
\(\{\) Man entnimmt dieser Darstellung die wichtige Tatsache, daß die erwähnten zwei Arbeiten von H. Hopf, Eilenberg und Mac Lane bereits im Jahr 1941 bzw. 1942 bekannt waren. Andererseits erhielt Hopf, solange der Krieg andauerte, keine Kenntnis von den Resultaten von Eilenberg und Mac Lane. So sind unabhängig von der Entwicklung in Amerika parallele Arbeiten in Europa entstanden, und zwar, wiederum unabhängig voneinander durch H. Freudenthal [Der Einfluß der Fundamentalgruppe auf die Bettischen Gruppen, Ann. Math., II. Ser. 47, 274-316 (1946; Zbl 0061.407)] und B. Eckmann [Der Cohomologie-Ring einer beliebigen Gruppe, Comment. Math. Helv. 18, 232-282 (1946; Zbl 0061.407)]. Es ist dies eines der zahlreichen interessanten Beispiele von unabhängig voneinander und fast gleichzeitig verlaufenden konvergenten Entwicklung in der Mathematik.\(\}\)
Der Artikel von MacLane geht auf eine ganze Reihe weiterer wichtiger algebraischer Begriffsbildungen ein, die aus topologischen Fragestellungen herkommen: “gekreuzte Moduln” (J. H. C. Whitehead); “Spektralreihen” (R. Lyndon; J. Leray; G. Hochschild - J. P. Serre); “Cohomologieoperationen” (N. Steenrod), und natürlich “Kategorien und Funktoren” (S. Eilenberg - S. Mac Lane). Zu allen diesen Themen hat der Autor des vorliegenden Artikels grundlegende Arbeiten beigesteuert. - Dieser Bericht aus der persönlichen Sicht eines direkt Beteiligten ist als wertvoller Beitrag zur Geschichte der Mathematik in diesem Gebiet zu werten.
Reviewer: U.Stammbach

MSC:

01A60 History of mathematics in the 20th century
20-03 History of group theory
55-03 History of algebraic topology
18-03 History of category theory
20E22 Extensions, wreath products, and other compositions of groups
20J05 Homological methods in group theory

Citations:

Zbl 0061.407
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References:

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