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On spatial variational problems. (Über räumliche Variationsprobleme.) (German) JFM 41.0436.01
Es wird das Problem behandelt, ein Integral \(\int^{x_1}_{x_0} f(x,y,z,y',z')dx\) zu ein Minimum zu machen bei festem Anfangs- und Endpunkte der Integration. Sei ein Extremalenbogen gegeben, entlang dessen die \(E\)-Funktion positiv-definit ist; \(x_0^*\) sei der zu seinem Anfangspunkte konjugierte Punkt, \(x_1^*\) derjenige Punkt, dessen konjugierter der Endpunkt \(x_1\) ist, und es sei \(x_1^*< x_0^*\); es liege \(x\) zwischen \(x_1^*\) und \(x_0^*\). Jeder dem Extremalenpunkte \((x, y, z)\) hinlänglich nahe Punkt \((x, y +\eta , z +\zeta )\) kann dann sowohl mit dem Anfangspunkte \(x_0\) als auch mit dem Endpunkte \(x_1\) unseres Extremalenbogens durch eine und nur eine unserer Extremale benachbarte Extremale verbunden werden. Das Integral, erstreckt von \(x_0\) bis \(x\) über die erste, von \(x\) bis \(x_1\) erstreckt über die zweite dieser Extremalen, vermindert um das über den Extremalenbogen \((x_0, x_1)\) erstreckte Integral, liefert bei festgehaltenem \(x\) eine Funktion von \(\eta\) und \(\zeta\), die mit \(W (\eta ,\zeta )\) bezeichnet wird. Die Frage, ob der Extremalenbogen \((x_0, x_1)\) ein Minimum liefert, ist dann vollkommen gleichbedeutend mit der Frage, ob die Funktion \(W (\eta , \zeta )\) für \(\eta = 0,\;\zeta = 0\) ein Minimum hat. Die Entwicklung von \(W (\eta , \zeta )\) nach Potenzen von \(\eta\) und \(\zeta\) enthält keine Glieder erster Ordnung; die Glieder zweiter Ordnung bilden eine quadratische Form, deren Determinante dann und nur dann verschwindet, wenn die Mayersche Determinante \(\Delta (x, x_0)\) für \(x = x_1\) verschwindet, speziell also immer dann, wenn \(x_1\) zu \(x_0\) konjugiert ist. Die Frage, ob ein Extremalenbogen, dessen Endpunkt zum Anfangspunkt konjugiert ist, ein Minimum liefert, ist dadurch zurückgeführt auf die Frage, ob eine Funktion der zwei Veränderlichen \(\eta\) und \(\zeta\), die gegeben ist, sobald die Extremalen des Problems gefunden sind, für \(\eta = \zeta = 0\) ein Minimum hat; und zwar liegt immer der Fall vor, daß die Glieder zweiter Ordnung diese Entscheidung nicht zu treffen gestatten. – Nun läßt der Verf. die Abszisse \(x_1\) des Endpunktes wachsen und betrachtet \(W\) bei festgehaltenem \(\eta\) und \(\zeta\) als Funktion von \(x_1\). Es ergibt sich, daß \(\frac{\partial W}{\partial x_1}\) gleich wird der für gewisse Argumente gebildeten \(E\)-Funktion mit negativem Vorzeichen, so daß \(W\) mit \(x_1\) abnimmt. Das liefert unmittelbar einen Beweis des Jacobischen Kriteriums. Ferner wird daraus durch Betrachtung der bei der Entwicklung von \(W (\eta , \zeta )\) von den Gliedern zweiter Ordnung in \(\eta , \zeta\) gebildeten quadratischen Form hergeleitet, daß auf allen durch den Punkt \(x_0\) unserer Extremale hindurchgehenden und ihr benachbarten Extremalen der zu \(x_0\) konjugierte Punkt benachbart ist dem auf unserer Extremale zu \(x_0\) konjugierten Punkte. Für den Fall, daß die Determinante \(\Delta (x,x_0)\) in dem zu \(x_0\) konjugierten Punkte \(x_0^*\) eine einfache Nullstelle hat, wird gezeigt, daß, solange \(x_1\) zwischen \(x_0^*\) und der nächsten auf \(x_0^*\) folgenden Nullstelle \(x_0^{**}\) liegt, sich in jeder Nachbarschaft der Extremale Gebiete finden derart, daß gegenüber jeder Vergleichskurve, die auch nur einen Punkt eines solchen Gebietes enthält, immer noch Minimum stattfindet. Diese Gebiete umfassen, wenn \(x_1\) nahe bei \(x_0^*\) liegt, nahezu die ganze Umgebung des Extremalenbogens, nehmen aber bei wachsendem \(x_1\) fortwährend ab. Sobald \(x_1\) den Punkt \(x_0^{**}\) überschreitet, verschwinden sie gänzlich. Davon verschieden ist das Verhalten des Extremalenbogens, wenn \(\Delta (x, x_0)\) in \(x_0^*\) eine zweifache Nullstelle hat; dann gibt es solche Gebiete schon nicht, sobald \(x_1\) den Punkt \(x_0^*\) überschritten hat.
MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
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References:
[1] L. Scheeffer, Math. Ann. 25 (1885), S. 522. · JFM 17.0353.01 · doi:10.1007/BF01443291
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[3] H. Hahn, Wien. Ber. 118 (1909), S. 99.
[4] A. Kneser, Charkow. Math. Mitt. (2) 7 (1902).
[5] G. v. Escherich, Wien. Ber. 108 (1899), S. 1269; 110 (1901), S. 1412.
[6] Man vgl. für die folgende Zusammenstellung von Tatsachen die Arbeiten von G. v. Escherich über die zweite Variation, sowie ihre Darstellung bei O. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, S. 619 ff., sowie J. Hadamard, Leçons sur le calcul des variations, S. 336 ff. Ferner H. Hahn, Rend. Pal. 29, S. 49 ff.
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