×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Fläche rollt. (German) JFM 42.0772.01
“Die wenigen partikularen Lösungen des Problems der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer gegebenen Fläche, die bis jetzt untersucht sind, beziehen sich hauptsächlich auf zwei spezielle Fälle. Es wird entweder die rollende Bewegung einer starren Kugel auf einer beliebigen Fläche, oder die rollende Bewegung eines beliebigen starren Körpers unter der Wirkung der Schwere auf einer Ebene behandelt. In der vorliegenden Arbeit soll nachgewiesen werden, daß die meisten Resultate, die bei der Behandlung des erwähnten zweiten Problems erreicht sind, sich leicht und fast ohne Einschränkung auf das allgemeinere Problem der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer Kugel erweitern lassen. Hierbei wird die Schwere durch eine Kraft ersetzt, die vom Schwerpunkte des Körpers zum Zentrum der Kugel gerichtet ist und nur von der Entfernung dieser beiden Punkte abhängt. Die Untersuchungen über dieses Problem bilden den Inhalt von Kapitel III. In Kapitel IV werden die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Fläche rollt, entwickelt und einige einfache partikulare Lösungen selben angegeben. Die beiden ersten Kapitel können als Einleitung in die oben genannten angesehen werden. (Man vergl. hierzu die Abhandlung des Verf.: “Die Gleichungen der Bewegung eines starren Körpers, welcher ohne Gleitung auf einer unbeweglichen Fläche rollt.” F. d. M. 34, 782, 1903, nebst der vorangehenden F. d. M. 32, 737, 1901.) Kapitel I enthält einige Sätze aus der Kinematik der rollenden Bewegung. Diese Sätze werden verwendet, um mittels der C. Neumannschen Koordinaten die Projektionen der momentanen Winkelgeschwindigkeit des rollenden Körpers auf die mit dem Körper fest verbundenen Achsen zu bestimmen. In Kapitel II wird eine Methode zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen nicht holonomer Systeme (ohne die Euler-Lagrangeschen Multiplikatoren) angegeben, die der Hamiltonschen Methode für holonome Systeme insofern analog ist, als man zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen nur Differentialausdrücke erster Ordnung als Funktionen der unabhängigen Geschwindigkeiten zu berechnen hat. Nur ist bei nicht holonomen Systemen die Anzahl dieser Ausdrücke größer: zu den Ausdrücken für die Kräftefunktion und für die lebendige Kraft treten noch solche für so viele Impulse hinzu, als nicht holonome Bedingungsgleichungen vorhanden sind.”
I. Kinematische Untersuchungen über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf einer gegebenen Fläche. \(\S\) 1. Einleitende Bemerkungen. \(\S\) 2. Volle Biegung, reine Biegung und Drillung. \(\S\) 3. Das Kreiseln der Tangentenebene. \(\S\) 4. Anwendung auf das Problem der rollenden Bewegung. II. Über die Bewegungsgleichungen nicht holonomer Systeme. \(\S\) 5. Elimination der Lagrangeschen Multiplikatoren aus den Bewegungsgleichungen. \(\S\) 6. Die Bewegungsgleichungen in speziellen Fällen. \(\S\) 7. Eine Formel für nicht holonome Systeme, die dem Hamiltonschen Integrale analog ist. \(\S\) 8. Einführung linearer Funktionen der Geschwindigkeiten in die Bewegungsgleichungen. \(\S\) 9. Anwendung auf das Problem der rollenden Bewegung. III. Über die rollende Bewegung eines starren Körpers auf einer Kugel. \(\S\) 10. Die Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer Kugel. \(\S\) 11. Entwicklung der Bewegungsgleichungen aus dem Satze von dem Momente der Bewegungsgröße. \(\S\) 12. Prüfung der Bewegungsgleichungen durch die Poinsotsche Interpretation der Bewegung eines kräftefreien starren Körpers. \(\S\) 13. Auflösung der Bewegungsgleichungen nach den Differentialquotienten der unbekannten Funktionen. Bewegungsintegrale. Bestimmung der zyklischen Koordinaten. \(\S\) 14. Rollende Bewegung eines Rotationskörpers auf einer Kugel. Zurückführung des Problems auf die Integration zweier Riccatischen Gleichungen. Bewegung eines zylindrischen Stabes auf einer Kugel. \(\S\) 15. Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, in dessen Innern sich ein Gyroskop befindet. Rollende Bewegung einer gyroskopischen Kugel auf einer Kugel. W. \(\S\) 16. Differentialgleichungen der rollenden Bewegung eines starren Körpers auf einer beliebigen Fläche. \(\S\) 16. Aufstellung der Bewegungsgleichungen. \(\S\) 17. Die Bewegungsgleichungen in speziellen Fällen. Partikulare Lösungen der Bewegungsgleichungen.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Dieses Problem wird in den größeren Lehrbüchern der Dynamik, z. B. bei Routh (The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, Chap. V) recht ausführlich besprochen. Vergl. auch die interessante Dissertation von Fr. Noether, Über die rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsflächen, München 1909
[2] Über die hierauf bezügliche Literatur vergl Enc. math. Wiss. IV 6 (P-Stäckel), Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper, Nr. 38.
[3] Vergl. auch meine russischen Abhandlungen: Über die Bewegungsgleichungen nicht holonomer Systeme, Moskan math. Sammlung 1902, und Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer ruhenden Ebene rollt, Kiew Univers.-Nachrichten 1903.
[4] C. Neumann, Grundzüge der analytischen Mechanik, Leipziger Berichte 1899. Vergl. anch Vierkandt, Über gleitende und rollende Bewegung, Monatshefte, für Math. und Physik.3 (1892).
[5] ibid. C. Neumann, Grundzüge der analytischen Mechanik, Leipziger Berichte 1899. Vergl. auch Vierkandt, Über gleitende und rollende Bewegung, Monatshefte für Math. und Physik.3 (1892).
[6] Thomson and Tait, Treatise on Natural Philosophy, vol. I, part, I, art. 110 u. f. In erweiterter Form bei Sonslow, Über das Rollen einer Fläche auf einer anderen, Kiew Univers.-Nachrichten 1892, und in meiner Abhandlung, Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer Ebene rollt, Kap. IV, ibid.C. Neumann, Grundzüge der analytischen Mechanik, Leipziger Berichte 1899. Vergl. auch Vierkandt, Über gleitende und rollende Bewegung, Monatshefte für Math. und Physik.3, (1892). 1903.
[7] Stahl und Kommerell Die Grundformeln der allgemeinen Flächentheorie, 1893, Form. (4) § 1 und (1) § 2. · JFM 24.0709.01
[8] ibid. Stahl und Kommerell, Die Grundformeln der allgemeinen Flächentheorie, 1893, Form. (22) und (23) § 1.
[9] Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, L. V.
[10] Stahl und Kommerell, Formel (6) § 2.
[11] Stahl und Kommerell, Formel (10) § 1. · JFM 25.0814.01
[12] Stahl und Kommerell, Formel (3) § 1. · JFM 25.0814.01
[13] Vergl. z. B. Hölder, Über die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis, Nachrichten der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1896, oder Hadamard, Sur les mouvements de roulement, Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux 5 (1895).
[14] Vergl. auch V. Voltera, Sopra una classe di equazioni dinamiche, Torino Atti33 (1898); P. Appell, Remarques d’ordre analytique sur une nouvelle forme des équations de la dynamique, J. de math 7 (1901); L. Boltzmann, Über die Form der Lagraugeschen Gleichungen für nichtholonome, generalisierte Koordinaten, Sitzungsberichte der Wiener Akademie111, Abt Ila (1902); G. Hamel. Die Lagrange-Eulerschen Gleichungen der Mechanik, Zeitschr. Math. Phys. 50 (1903).
[15] Vergl. z. B. P. Appell, Sur une forme générale des équations de la dynamique et sur le principe de Gauss, J. f. Math.122 (1900). · JFM 31.0692.02
[16] Ferrers, Extension of Lagrange’s equations, Quart. J. of math. 45 (1878).
[17] Tschaplygin, Über die Bewegung eines schweren Drehungskörpers auf einer horizontalen. Ebene, Arbeiten der physikalischen Sektion Nr. 9, Moskau 1897. · JFM 27.0624.06
[18] Vergl. hierüber meine Abhandlung und die Abhandlung von Souslow im Bd. 22 der Moskauer Mathematischen Sammlung, 1901.
[19] Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. I, Vorl. VI. · JFM 08.0542.01
[20] ibid. Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. I, Vorl. VI. Formel (9). · JFM 08.0542.01
[21] Vergl. z. B. die Methode, nach welcher bei g. Kirchhoff (ibid., Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. I., Vorl. VI.) die Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers abgeleitet werden. Siehe auch die Abhandlung von K. Heun, Die Bedeutung des D’Alembertschen Prinzipes für starre Systeme und Gelenkmechanismen, Auch. Math. Phys. (3) 2 (1902), §17.
[22] ibid.Vergl. z. B. die Methode, nach welcher bei G. Kirchhoff (ibid. Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, Bd. I, Vorl. VI. Vorl. VI) die Differentialgleichungen der Bewegung eines starren Körpers abgeleitet werden. Formel (8) und (9). · JFM 08.0542.01
[23] Stahl und Kommerell, Formel (6) § 7.
[24] Sousloff, Grundzüge der analytischen Mechanik (russisch), Bd. 1, § 192, Kiew 1900.
[25] Routh, The advanced part of a treatise on the Dynamics usw. Art. 147, Ex. 4, 1884. · JFM 16.0870.01
[26] Philos. Trans. 1854.
[27] Tschaplygin, Über eine mögliche Verallgemeinerung der Flächentheoreme mit Anwendung auf das Problem des Rollens der Kugel, Moskau Mathem. Samml. 20 (1897). · JFM 27.0625.01
[28] Vergl. z. B. Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, L. I., ch. II.
[29] Vgl. die oben angeführte Abhandlung von Tschaplygin.
[30] Den sog. Deviationswiderstand. F. Klein und A. Sommerfeld, Über die Theorie des Kreisels, Heft I, Kap. III.
[31] Bobylew, Über die gyroskopische Kugel, die auf einer Horizontalebene ohne Gleitung rollt, Moskau Math. Sammlung 1891.
[32] Joukowski, Über die gyroskopische Kugel von D. K. Bobylew, Arbeiten der physikalischen Sektion 1893. · JFM 40.0823.01
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.