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On the algebra of handle operations in 4-manifolds. (English) Zbl 0666.57001
Bei Zell-oder Henkelzerlegungen von 4-Mannigfaltigkeiten kann man Präsentationen der Fundamentalgruppe nicht nur am 2-Gerüst sondern auch am dualen 2-Gerüst ablesen. Geht man zu einer anderen Zerlegung derselben Mannigfaltigkeit über, so werden diese Präsentationen simultan geändert. So ergeben sich Elementartransformationen für n- Tupel von Elementen aus dem direkten Produkt freier Gruppen, die \(Q^{**}\)-Operationen an (gewöhnlichen) Präsentationen entsprechen. Für diese Transformationen werden Normalformen angegeben und gezeigt, daß sie sich (bis auf das Inverse des Verlängerns) geometrisch realisieren lassen. Mit der angegebenen Technik läßt sich auch das Resultat von G. Huck gewinnen und verallgemeinern, daß eine endliche, balancierte Präsentation, deren Relatoren nach Abelschmachen der Reihe nach die Erzeugenden ergeben, einen 2-Komplex bestimmt, der sich in \(S^ 4\) mit zusammenziehbarem Komplement einbetten läßt.
Reviewer: W.Metzler
MSC:
57M05 Fundamental group, presentations, free differential calculus
57M20 Two-dimensional complexes (manifolds) (MSC2010)
20F34 Fundamental groups and their automorphisms (group-theoretic aspects)
20F05 Generators, relations, and presentations of groups
57N13 Topology of the Euclidean \(4\)-space, \(4\)-manifolds (MSC2010)
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References:
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