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Notes on modern algebra. (English) JFM 12.0083.03

Die beiden ersten Noten (JFM 12.0083.01 und JFM 12.0083.02), sowie der erste Theil der dritten Arbeit behandeln eine eigenthümliche Darstellung der Covarianten. Als Ausgang dient ein Satz, der wohl, wie auch Herr Sylvester kürzlich (Am. J. II. p. 357) zugiebt, vom Herrn Verfasser herrührt (Théorie des formes binaires, 1875. p. 311).
“Hat man eine Function von \(x\) \[ \varPhi = \varphi [A_0, A_1, \ldots A_i], \] wo \[ A_k = a_k + ka_{k-1}x + \cdots a_0 x^k, \] so hat man \[ \varPhi = \varphi + x\delta\varphi + \frac{x^2}{1.2} \delta^2\varphi + \cdots \frac{x^i}{1.2\ldots i} \delta^i \varphi + \cdots = e^{\delta x}\varphi, \] wo \(\delta\) das bekannte Symbol darstellt \[ \delta = a_0 \frac{d}{da_1} + 2a_1 \frac{d}{da_2} + 3a_2 \frac{d}{da_3} + \cdots, \] hier noch mit der Voraussetzung, dass nach den Differentiationen \(x=0\) zu setzen ist.”
Es erfolgt eine neuer, höchst einfacher Beweis dieses Satzes, der sofort aus der Mac Laurin’schen Entwickelung von \(\varPhi\) entspringt.
Andrerseits gilt aber ein ähnlicher Satz für die Covarianten einer binären Form (cf. Faà de Bruno’s Werk p. 188), denn für die Coefficienten \(c\) einer Covariante \[ \varphi = (c_0, \ldots c_m \widehat {)(} x,y)^m \] einer Form \[ f = (a_0, \ldots a_n \widehat{)(} x,y)^n \] gelten die Beziehungen \[ \delta c_k = kc_{k-1}, \quad \delta_1 c_k = (m-k) c_{k+1}, \] wo \(\delta_1\) das reciproke Symbol \[ \delta_1 = a_n \frac{d}{da_{n-1}} + 2a_{n-1} \frac{d}{da_{n-2}} + \cdots na_1 \frac{d}{da_0} \] vorstellt. Daraus folgen aber die Darstellungen \[ \varphi = e^{\delta x} c_m, \quad \varphi = e^{\delta_1 x} c_0. \] Durch Vergleich mit dem obigen Satze erhält man den neuen:
“Jede Covariante \(\varphi\) kann aus ihrem letztem Term \((c_m\) resp. \(c_0)\) abgeleitet werden, sobald man die \(a_i\) durch die resp. \(A_i\) ersetzt.”
Man kann diesen Satz aber in eine noch einfachere Form bringen, wenn man (cf. des Herrn Verfassers Werk, p. 130) bemerkt, dass \[ A_n = e^{x\delta} a_N, \quad A_i = e^{x\delta} a_i, \] sowie \[ A_{i-1} = \frac 1i \delta A_i, \quad A_{i-2} = \frac{1}{i(i-1)}\delta^2 A_i \text{ etc.} \] Dann folgt:
“Alle Covarianten einer Form können als symbolische Functionen eines einzigen Parameters \((a_n\) resp. \(a_0\)) dargestellt werden.”
\(f\) selbst ist in dieser Form \(= e^{\delta x} a_n\).
Die dritte Arbeit leitet sodann, unabhängig vom ersten Theil, einen sehr fruchtbaren Determinantensatz ab. Ist nämlich \(\varDelta\) irgend ein Differentiationssymbol, und sind in der Determinante \[ D = \left| \begin{matrix} A, & \varDelta A, & \varDelta^2A, & \ldots & \varDelta^nA \\ B, & \varDelta A, & \varDelta^2B, & \ldots & \varDelta^nB \\ . & . & . & . & . \end{matrix} \right| \] die Glieder der letzten Colonne constant in Bezug auf \(\varDelta\), so ist \[ \varDelta D = 0. \]
Es folgt dies sogleich aus den Differentiationsregeln für Determinanten. Wichtige Beispiele erläutern den Satz. Um eins anzuführen, so ist die Determinante \[ \left| \begin{matrix} xyz, & xy + yz + zx, & x + y +z, & 1 \\ yzt, & . & . & . \\ ztx, & . & . & . \\ txy, & . & . & . \end{matrix} \right| \] das Differenzenproduct der vier Grössen \(x,\) \(y\), \(z\), \(t\).
Im dritten Theil giebt der Herr Verfasser einen nicht-symbolischen Beweis des bekannten Satzes (cf. Clebsch, Binäre Formen, p. 119), dass das Quadrat der Functionaldeterminante zweier Formen eine quadratische homogene Function der Formen selbst ist, nebst Beispielen.
Am Schluss wird die Gleichung fünften Grades für den Fall, dass ihre Invariante \(18^{\text{ter}}\) Ordnung verschwindet, aufgelöst.

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