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Diophantine approximation by conjugate algebraic integers. (English) Zbl 1055.11043

Um die Hauptresultate der vorliegenden Arbeit beschreiben zu können, sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper mit \(d:=[K:\mathbb{Q}]\). Für jede Stelle \(v\) von \(K\) sei \(K_v\) die Vervollständigung von \(K\) an \(v\) und \(d_v\) sein lokaler Grad an \(v\). Der entsprechende Absolutbetrag \(|\cdot|_v\) sei so normiert, dass \(|p|_v = p^{-d_v/d}\) gilt, falls \(v\) über einer Primzahl \(p\) von \(\mathbb{Q}\) liegt, bzw. dass \(|x|_v =|x|^{d_v/d}\) für jedes \(x\in \mathbb{Q}\) gilt, falls \(v\) archimedisch ist.
Damit lautet der zentrale Approximationssatz der Verfasser: \(n,t\) mögen \(t\leq n/4\) genügen. Sei \(w\) eine Stelle von \(K\), \(\xi \in K_w\) sei nicht algebraisch über \(K\) von einem Grad \(\leq (n+1)/(2t)\); weiter sei \(|\xi|_w \leq 1\) bei nichtarchimedischem \(w\). Dann gibt es unendlich viele algebraische \(\alpha\) mit Grad \(n+1\) über \(K\) und mit Grad \(d(n+1)\) über \(\mathbb{Q}\), die paarweise verschiedene über \(K\) Konjugierte \(\alpha_1,\dots ,\alpha_t\in K_w\) mit \[ |\xi-\alpha_i|_w\leq cH(\alpha)^{-(n+1)/(4dt^2)} \quad i=1,\dots,t\tag{\(*\)} \] besitzen, \(H(\alpha)\) die klassische Höhe von \(\alpha\), wo \(c>0\) nur von \(K,n,w\) und \(\xi\) abhängt.
Im Fall \(t=1,K=\mathbb{Q},K_w=\mathbb{R}\) vergleiche man dies Resultat mit Theorem 2 von H. Davenport und W. M. Schmidt [Acta Arith. 15, 393–416 (1969; Zbl 0186.08603)], deren Beweisstrategie die Verfasser folgen. Sie beruht auf einem Dualitätsargument, kombiniert mit der folgenden Version des Gel’fond-Kriteriums für algebraische Unabhängigkeit: Seien \(t,n,K,w,\xi\) wie im Approximationssatz. Dann existiert ein \(c>0\) wie oben mit folgender Eigenschaft. Wenn es zu jedem genügend großen \(X\in \mathbb{R}_+\) ein \(Q\in K[T]\setminus\{0\}\) höchstens vom Grad \(n\) gibt, so dass an jeder Stelle \(v \neq w\) von \(K\) der \(v\)-adische Absolutbetrag aller Koeffizienten von \(Q\) nicht größer als 1 ist und für die \(j\)-ten Ableitungen von \(Q\) die Ungleichungen \[ |Q^{(j)}(\xi)|_w \leq cX^{-t/([n/4]+1-t)}\quad0\leq j\leq n-t,\qquad |Q^{(j)}(\xi)|_w \leq X\quad n-t<j\leq n\tag{\(**\)} \] gelten, dann ist \(\xi\) über \(K\) algebraisch von einem Grad \(\leq(n-[n/4]+1)/(2t)\).
Zur Schärfe der erzielten Ergebnisse wird gezeigt: Der Approximationsexponent in (\(*\)) ist bis auf den Faktor \(1/4\) von \((n+1)/(dt^2)\) bestmöglich, der nicht durch eine reelle Zahl \(>2\) ersetzt werden kann. Des weiteren kann in (\(**\)) der Exponent von \(X\) (bei sonst gleicher Aussage) nicht auf \(-t/(n+1-t)\) vergrößert werden.

MSC:

11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
11J82 Measures of irrationality and of transcendence

Citations:

Zbl 0186.08603
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