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Rationale kanonische Form einer linearen Substitution. (Czech. German summary) JFM 66.0043.04
Es handelt sich um eine Vereinfachung des in Dicksons “Höhere Algebra” (Leipzig 1929; JFM 55.0661.*) gegebenen Verfahrens. Die im folgenden auftretenden Koeffizienten von Polynomen und Elemente von Matrizen sollen einem kommutativen Körder \(K\) angehören. Es soll die Substitution
(1) \(X_i = a_{i1}x_1 +\cdots+ a_{in}x_n (i = 1,\ldots, n)\), kurz \([X] = A[x]\) durch
(2) \([x] = C[y]\), \([X] = C[Y]\) (wo die Determinante \(|C|\neq 0\) ist) auf die kanonische Form \([Y]= B[y]\) gebracht werden. Das Haupthilfsmittel ist die folgende Operation \(\varDelta\), die auf jede Linearform \(L = c_1x_1+ \dots +c_nx_n\) in \(x_1,\ldots, x_n\) angewandt werden kann: \(\varDelta x_i = a_{i1}x_1 + \cdots + a_{in}x_n\), \(\varDelta L = c_1\varDelta x_1+\cdots + c_n\varDelta x_n\); ist \(\varphi(\lambda) = d_0\lambda^m + d_1\lambda^{m-1} +\cdots+d_m\), so setze man \(\varphi(\varDelta)L = d_0\varDelta^mL + d_1\varDelta^{m-1}L + \cdots + d_mL\), wo \(\varDelta^kL = \varDelta^{k-1}(\varDelta L)\). Nach (1) ist \(X_i = \varDelta x_i\), und wegen (2) auch \(Y_1 = \varDelta y_i\). Jeder Linearform \(L(x)\) wird nun eindeutig (bis auf einen Faktor in \(K\)) das Polynom \(h(\lambda)\) niedrigsten Grades zugeordnet, für welches \(h(\varDelta) L = 0\) ist (\(h\) “gehört” zu \(L\)). Gehört \(h_1\) zu \(L_1\), \(h_2\) zu \(L_2\) und ist \(h_3\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(h_1, h_2\), so ist \(h_3\) das Polynom niedrigsten Grades mit \(h_3(\varDelta)L_1= h_3(\varDelta) L_2= 0\), und es gibt eine Linearform, zu welcher \(h_3\) gehört.
Durch sukzessive Anwendung dieses Satzes folgt: Es gibt ein Polynom \(g(\lambda) = \lambda^t - b_t\lambda^{t-1}-\cdots- b_1\lambda^0\) und eine Linearform \(L (x)\), so daß \(g\) zu \(L\) gehört und \(g\) das niedrigste Polynom mit \(g(\varDelta)x_i = 0 (i = 1,\ldots, n)\) ist. Setzt man \(y_1=L(x),\ldots,y_t = \varDelta ^{t-1}L(x)\), so ist (wegen \(Y_i = \varDelta y_i)\) \(Y_1= y_2\), \(Y_2=y_3,\ldots Y_t = b_1y_1+\cdots +b_ty_t\). Wählt man noch geeignet die \((n - t)\) letzten Zeilen von \(C^{-1}\), so hängen \(Y_{t+1},\ldots, y_n\) nur von \(y_{t+1},\ldots, Y_n\) ab; verfährt man analog mit diesen \((n - t)\) Unbestimmten, so kommt man schrittweise zum Ziel. Es werden auch die im Falle eines reduziblen \(g (\lambda)\) auftretenden Vereinfachungen behandelt und der Zusammenhang von (1) mit der Substitution \([X'] = A_1[x]\), \(A_1 = a_1A^{s-1} + a_2A^{s-2} + \cdots+ a_sA\) für den Fall betrachtet, daß \(g (\lambda)\) in Linearfaktoren zerfällt.
Full Text: EuDML